Polynomi sisältää muuttujan (x), jonka teho on aste, ja useita termejä ja/tai vakioita. Polynomin kertominen tarkoittaa yhtälön jakamista yksinkertaisemmiksi yhtälöiksi, jotka voidaan kertoa. Tämä taito on algebra 1 ja uudempi, ja sitä voi olla vaikea ymmärtää, jos matematiikkataitosi eivät ole tällä tasolla.
Vaihe
alkaa
Vaihe 1. Määritä yhtälösi
Normaalimuoto toisen asteen yhtälölle on:
kirves2 + bx + c = 0
Aloita järjestämällä yhtälön termit suurimmalta pienimmälle teholle aivan kuten tässä vakiomuodossa. Esimerkiksi:
6 + 6x2 + 13x = 0
Järjestämme tämän yhtälön uudelleen, jotta sitä on helpompi käsitellä yksinkertaisesti siirtämällä termejä:
6x2 + 13x + 6 = 0
Vaihe 2. Etsi muotokerroin jollakin seuraavista tavoista
Polynomin jakaminen tuloksena saa kaksi yksinkertaisempaa yhtälöä, jotka voidaan kertoa alkuperäisen polynomin tuottamiseksi:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Tässä esimerkissä (2x + 3) ja (3x + 2) ovat alkuperäisen yhtälön, 6x, tekijät2 +13x+6.
Vaihe 3. Tarkista työsi
Kerro käytettävissä olevat tekijät. Yhdistä sitten samankaltaiset termit ja olet valmis. Aloita:
(2x + 3) (3x + 2)
Kokeillaan, kertokaa termejä PLDT: llä (ensimmäinen - ulkopuolella - sisällä - viimeinen), tuloksena:
6x2 + 4x + 9x + 6
Tästä eteenpäin voimme lisätä 4x ja 9x, koska ne ovat samanlaisia termejä. Tiedämme, että tekijämme ovat oikein, koska saamme alkuperäisen yhtälön:
6x2 + 13x + 6
Tapa 1/6: Koe ja virhe
Jos sinulla on melko yksinkertainen polynomi, saatat pystyä löytämään tekijät itse vain katsomalla niitä. Esimerkiksi harjoituksen jälkeen monet matemaatikot voivat ymmärtää, että yhtälö 4x2 + 4x + 1 on kerroin (2x + 1) ja (2x + 1) vain katsomalla sitä usein. (Tämä ei tietenkään ole helppoa monimutkaisemmille polynomeille). Tässä esimerkissä käytetään harvemmin käytettyä yhtälöä:
3x2 + 2x - 8
Vaihe 1. Kirjoita luettelo termin a ja termin c tekijöistä
Kirveen yhtälöformaatin käyttäminen2 + bx + c = 0, tunnista termit a ja c ja kirjoita molempien termien tekijät. 3x2 + 2x - 8, mikä tarkoittaa:
a = 3 ja sillä on joukko tekijöitä: 1 * 3
c = -8 ja sillä on neljä tekijäjoukkoa: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja -1 * 8.
Vaihe 2. Kirjoita muistiin kaksi hakasulkua, joissa on tyhjiä välilyöntejä
Täytät luomasi tyhjät kohdat vakioilla kullekin yhtälölle:
(x) (x)
Vaihe 3. Täytä x: n edessä olevat tyhjät kohdat a: n mahdollisilla tekijäpareilla
Esimerkissämme termi a, 3x2, esimerkissämme on vain yksi mahdollisuus:
(3x) (1x)
Vaihe 4. Täytä kaksi tyhjää kohtaa x: n jälkeen vakion tekijäpareilla
Oletetaan, että valitsemme 8 ja 1. Kirjoita niihin:
(3x
Vaihe 8.)(
Vaihe 1
Vaihe 5. Määritä merkki (plus tai miinus) muuttujan x ja luvun välillä
Alkuperäisen yhtälön merkeistä riippuen voi olla mahdollista etsiä vakioita. Oletetaan, että kutsumme kahta vakioa h ja k kahdelle tekijällemme:
Jos kirves2 + bx + c sitten (x + h) (x + k)
Jos kirves2 - bx - c tai ax2 + bx - c sitten (x - h) (x + k)
Jos kirves2 - bx + c sitten (x - h) (x - k)
Esimerkissämme 3x2 + 2x - 8, merkit ovat: (x - h) (x + k), mikä antaa meille kaksi tekijää:
(3x + 8) ja (x - 1)
Vaihe 6. Testaa valintasi käyttämällä PLDT-kertolaskua
Ensimmäinen pikatesti on nähdä, onko keskitermillä vähintään oikea arvo. Jos et, olet ehkä valinnut väärät c -tekijät. Testaa vastauksemme:
(3x + 8) (x - 1)
Kertomalla saamme:
3x2 - 3x + 8x - 8
Yksinkertaistamalla tätä yhtälöä lisäämällä samankaltaisia termejä (-3x) ja (8x), saadaan:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Nyt tiedämme, että meidän on täytynyt käyttää vääriä tekijöitä:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Vaihe 7. Muuta valintasi tarvittaessa
Esimerkissämme kokeillaan 2 ja 4 sijasta 1 ja 8:
(3x + 2) (x - 4)
Nyt termi c on -8, mutta ulko-/sisätuotteemme (3x * -4) ja (2 * x) on -12x ja 2x, mikä yhdessä ei tuota oikeaa b +2x -termiä.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Vaihe 8. Käännä järjestys tarvittaessa
Kokeillaan vaihtaa 2 ja 4:
(3x + 4) (x - 2)
Nyt termi c (4 * 2 = 8) on oikea, mutta ulompi/sisempi tuote on -6x ja 4x. Jos yhdistämme ne:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Olemme melko lähellä etsimäämme 2x, mutta merkki on väärä.
Vaihe 9. Tarkista tagisi tarvittaessa
Käytämme samaa järjestystä, mutta vaihda yhtälöt, joissa on miinusmerkki:
(3x - 4) (x + 2)
Termi c ei ole ongelma, ja nykyinen ulompi/sisäinen tuote on (6x) ja (-4x). Koska:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Nyt voimme käyttää positiivista 2x alkuperäisestä ongelmasta. Näiden on oltava oikeat tekijät.
Menetelmä 2/6: Hajoaminen
Tämä menetelmä tunnistaa kaikki termien a ja c mahdolliset tekijät ja käyttää niitä oikeiden tekijöiden löytämiseen. Jos numerot ovat liian suuria tai arvaaminen tuntuu aikaa vievältä, käytä tätä menetelmää. Käytetään esimerkkiä:
6x2 + 13x + 6
Vaihe 1. Kerro termi a termillä c
Tässä esimerkissä a on 6 ja c on myös 6.
6 * 6 = 36
Vaihe 2. Hanki termi b tekijällä ja testaamalla
Etsimme kahta numeroa, jotka ovat tunnistamamme tuotteen a * c tekijöitä ja jotka täydentävät myös termiä b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Vaihe 3. Korvaa kaksi lukua, jotka saat yhtälöön termin b lisäämisen seurauksena
Käytetään k ja h edustamaan kahta numeroa, 4 ja 9:
kirves2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Vaihe 4. Kerro polynomi ryhmittelemällä
Järjestä yhtälöt niin, että voit ottaa ensimmäisen ja toisen termin suurimman yhteisen tekijän. Tekijöiden ryhmän on oltava sama. Lisää suurin yhteinen tekijä ja aseta se sulkuihin tekijäryhmän viereen; tulos on kaksi tekijääsi:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Tapa 3/6: Kolminkertainen toisto
Samoin kuin hajotusmenetelmä, triple play -menetelmä tutkii mahdollisia tekijöitä termien a ja c kertomiseen ja b: n arvon käyttämiseen. Kokeile tätä esimerkkiyhtälöä:
8x2 + 10x + 2
Vaihe 1. Kerro termi a termillä c
Kuten jäsennysmenetelmä, tämä auttaa meitä tunnistamaan ehdokkaita termille b. Tässä esimerkissä a on 8 ja c on 2.
8 * 2 = 16
Vaihe 2. Etsi kaksi numeroa, jotka kerrottuna numeroilla tuottavat tämän luvun, jonka kokonaissumma on yhtä suuri kuin termi b
Tämä vaihe on sama kuin jäsentäminen - testaamme ja hylkäämme vakion ehdokkaat. Termien a ja c tulo on 16 ja termi c on 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Vaihe 3. Ota nämä kaksi numeroa ja testaa ne liittämällä ne kolminkertaiseen kaavaan
Ota kaksi numeroa edellisestä vaiheesta - kutsumme niitä h ja k - ja liitä ne yhtälöön:
((kirves + h) (kirves + k))/ a
Me tulemme saamaan:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Vaihe 4. Huomaa, onko jokin kahdesta osoittimen termistä jaollinen a: lla
Tässä esimerkissä näimme, onko (8x + 8) tai (8x + 2) jaollinen 8. (8x + 8) on jaollinen kahdeksalla, joten jaamme tämän termin a: lla ja jätetään muut tekijät rauhaan.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Tässä suluissa oleva termi on jäljellä, kun jaamme termillä a.
Vaihe 5. Ota yhden tai molempien termien suurin yhteinen tekijä (GCF)
Tässä esimerkissä toisen termin GCF on 2, koska 8x + 2 = 2 (4x + 1). Yhdistä tämä tulos termiin, jonka sait edellisestä vaiheesta. Nämä ovat tekijöitä yhtälössäsi.
2 (x + 1) (4x + 1)
Menetelmä 4/6: Neliöjuurien ero
Jotkin polynomien kertoimet voivat olla 'neliöitä' tai kahden luvun tuloja. Näiden neliöiden tunnistamisen avulla voit moninkertaistaa useita polynomeja nopeammin. Kokeile tätä yhtälöä:
27x2 - 12 = 0
Vaihe 1. Ota suurin yhteinen tekijä pois, jos mahdollista
Tässä tapauksessa voimme nähdä, että 27 ja 12 jaetaan 3: lla, joten saamme:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Vaihe 2. Selvitä, ovatko yhtälön kertoimet neliönumeroita
Jotta voit käyttää tätä menetelmää, sinun on kyettävä ottamaan molempien termien neliöjuuri. (Huomaa, että sivuutamme negatiivisen merkin - koska nämä luvut ovat neliöitä, ne voivat olla kahden positiivisen tai negatiivisen luvun tulo)
9x2 = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2
Vaihe 3. Kirjoita tekijät muistiin käyttämällä neliöjuuria
Otamme arvot a ja c yllä olevasta vaiheestamme - a = 9 ja c = 4, sitten löydämme neliöjuuren - a = 3 ja c = 2. Tuloksena on kerroinyhtälön kerroin:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Menetelmä 5/6: Neliökaava
Jos kaikki muu epäonnistuu eikä yhtälöä voida laskea kokonaiseksi, käytä toisen asteen kaavaa. Kokeile tätä esimerkkiä:
x2 + 4x + 1 = 0
Vaihe 1. Anna tarvittavat arvot neliökaavaan:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Saamme yhtälön:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Vaihe 2. Etsi x: n arvo
Saat kaksi arvoa. Kuten yllä on esitetty, saamme kaksi vastausta:
x = -2 + (3) tai x = -2 -(3)
Vaihe 3. Käytä x-arvoasi tekijöiden etsimiseen
Liitä saamasi x -arvot kahteen polynomiyhtälöön vakioina. Tulos on tekijäsi. Jos kutsumme vastauksiamme h ja k, kirjoitamme nämä kaksi tekijää seuraavasti:
(x - h) (x - k)
Tässä esimerkissä viimeinen vastauksemme on:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Tapa 6/6: Laskimen käyttö
Jos sinulla on oikeus käyttää laskinta, graafinen laskin tekee factoring -prosessista paljon helpompaa erityisesti standardoitujen testien osalta. Nämä ohjeet koskevat TI -graafista laskinta. Käytämme esimerkkiyhtälöä:
y = x2 x 2
Vaihe 1. Kirjoita yhtälö laskimeen
Käytät yhtälön factoringia, joka kirjoitetaan ruudulle [Y =].
Vaihe 2. Piirrä yhtälösi laskimen avulla
Kun olet syöttänyt yhtälön, paina [GRAPH] - näet tasaisen käyrän, joka edustaa yhtälöäsi (ja muoto on käyrä, koska käytämme polynomeja).
Vaihe 3. Etsi paikka, jossa käyrä leikkaa x-akselin
Koska polynomiyhtälöt kirjoitetaan yleensä akselina2 + bx + c = 0, tämä leikkaus on x: n toinen arvo, joka saa yhtälön olemaan nolla:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Jos et pysty tunnistamaan kaaviota leikkaamalla x-akselia katsomalla sitä, paina [2nd] ja sitten [TRACE]. Paina [2] tai valitse nolla. Siirrä kohdistin risteyksen vasemmalle puolelle ja paina [ENTER]. Siirrä kohdistin risteyksen oikealle puolelle ja paina [ENTER]. Siirrä kohdistin mahdollisimman lähelle risteystä ja paina [ENTER]. Laskin löytää arvon x. Tee tämä myös muille risteyksille
Vaihe 4. Liitä edellisestä vaiheesta saatu x -arvo kahden tekijäyhtälöön
Jos nimeäisimme molemmat x -arvot h ja k, käyttämämme yhtälöt olisivat:
(x - h) (x - k) = 0
Kaksi tekijäämme ovat siis:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Vinkkejä
- Jos sinulla on TI-84-laskin (kuvaaja), on olemassa SOLVER-ohjelma, joka ratkaisee toisen asteen yhtälöt. Tämä ohjelma ratkaisee minkä tahansa asteen polynomeja.
- Jos termiä ei kirjoiteta, kerroin on 0. Jos näin on, on hyödyllistä kirjoittaa yhtälö uudelleen, esimerkiksi: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Jos laskit polynomiisi toisen asteen kaavan avulla ja sait vastauksen juurien suhteen, voit halutessasi muuntaa x: n arvon murto -osaksi tarkistettavaksi.
- Jos termillä ei ole kirjoitettua kerrointa, kerroin on 1, esimerkiksi: x2 = 1x2.
- Riittävän harjoittelun jälkeen pystyt lopulta laskemaan polynomit päähän. Ennen kuin voit tehdä sen, muista aina kirjoittaa ohjeet ylös.
