Toisen asteen yhtälö on yhtälö, jonka korkein aste on 2 (neliö). On olemassa kolme pääasiallista tapaa ratkaista toisen asteen yhtälö: toissijainen yhtälö, jos mahdollista, käyttämällä toisen asteen kaavaa tai täyttämällä neliö. Jos haluat hallita näitä kolmea menetelmää, toimi seuraavasti.
Vaihe
Menetelmä 1/3: Factoring -yhtälöt
Vaihe 1. Yhdistä kaikki yhtä suuret muuttujat ja siirrä ne yhtälön toiselle puolelle
Ensimmäinen askel yhtälön faktorointiin on siirtää kaikki yhtä suuret muuttujat yhtälön toiselle puolelle, jolloin x2on positiivinen. Jos haluat yhdistää muuttujia, lisää tai vähennä kaikki muuttujat x2, x ja vakioita (kokonaislukuja), siirrä ne yhtälön toiselle puolelle niin, että toiselle puolelle ei jää mitään. Jos toisella puolella ei ole jäljellä olevia muuttujia, kirjoita 0 yhtäläisyysmerkin viereen. Voit tehdä sen seuraavasti:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Vaihe 2. Kerro tämä yhtälö
Tämän yhtälön tekijäksi on käytettävä kerrointa x2 (3) ja vakio-kerroin (-4), kertomalla ne ja lisäämällä ne sopimaan muuttujan keskelle (-11). Voit tehdä sen seuraavasti:
- 3x2 on vain yksi mahdollinen tekijä, 3x ja x, voit kirjoittaa ne sulkeisiin: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Käytä sitten eliminointiprosessia tekijäksi 4 löytääksesi tuote, joka tuottaa -11x. Voit käyttää 4: n ja 1: n tai 2: n ja 2: n tuloa, koska kun kerrot molemmat, saat 4. Mutta muista, että yhden numeron on oltava negatiivinen, koska tulos on -4.
- Kokeile (3x + 1) (x - 4). Kun kerrot sen, tulos on - 3x2 -12x +x -4. Jos yhdistät muuttujat -12 x ja x, tulos on -11x, joka on keskiarvo. Olet juuri ottanut huomioon toisen asteen yhtälön.
- Kokeillaan esimerkiksi faktoida toinen tuote: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Jos yhdistät muuttujat, tulos on 3x2 -4x -4. Vaikka tekijät -2 ja 2 kerrottuna tuottavat -4, keskiarvo ei ole sama, koska haluat saada arvon -11x arvon -4x sijaan.
Vaihe 3. Oletetaan, että jokainen sulu on nolla eri yhtälössä
Tämän avulla voit löytää 2 x arvoa, jotka tekevät yhtälöstäsi nolla. Olet ottanut huomioon yhtälön, joten sinun tarvitsee vain olettaa, että kunkin sulun laskenta on nolla. Voit siis kirjoittaa 3x + 1 = 0 ja x - 4 = 0.
Vaihe 4. Ratkaise jokainen yhtälö erikseen
Toisen asteen yhtälössä x: lle on 2 arvoa. Ratkaise jokainen yhtälö erikseen siirtämällä muuttujia ja kirjoittamalla kaksi vastausta x: lle seuraavasti:
-
Ratkaise 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. vähentämällä
- 3x/3 = -1/3….. jakamalla
- x = -1/3….. yksinkertaistamalla
-
Ratkaise x - 4 = 0
x = 4….. vähentämällä
- x = (-1/3, 4)….. tekemällä useita mahdollisia vastauksia erillään, eli x = -1/3 tai x = 4 molemmat voivat olla oikein.
Vaihe 5. Tarkista x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Näin saamme (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. korvaamalla (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. yksinkertaistamalla (0) (-4 1/3) = 0….. kertomalla Joten, 0 = 0….. Kyllä, x = -1/3 on totta.
Vaihe 6. Tarkista x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Näin saamme (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. korvaamalla (13) (4 - 4)? =? 0….. yksinkertaistamalla (13) (0) = 0….. kertomalla Joten, 0 = 0….. Kyllä, x = 4 on myös totta.
Joten erikseen tarkistamisen jälkeen molemmat vastaukset ovat oikein ja niitä voidaan käyttää yhtälöissä
Menetelmä 2/3: Käytä toisen asteen kaavaa
Vaihe 1. Yhdistä kaikki yhtä suuret muuttujat ja siirrä ne yhtälön toiselle puolelle
Siirrä kaikki muuttujat yhtälön toiselle puolelle muuttujan x kanssa2 positiivinen. Kirjoita muuttujat ylös peräkkäisillä eksponenteilla niin, että x2 kirjoitetaan ensin, sen jälkeen muuttujia ja vakioita. Voit tehdä sen seuraavasti:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Vaihe 2. Kirjoita toisen asteen kaava muistiin
Neliökaava on: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Vaihe 3. Määritä a-, b- ja c -arvot toisen asteen yhtälöstä
Muuttuja a on kerroin x2, b on muuttujan x kerroin ja c on vakio. 3x yhtälölle2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 ja c = -8. Kirjoita ylös kaikki kolme.
Vaihe 4. Korvaa yhtälön arvot a, b ja c
Kun tiedät kolme muuttujan arvoa, liitä ne seuraavanlaiseen yhtälöön:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Vaihe 5. Suorita laskutoimitukset
Kun olet syöttänyt numerot, suorita laskutoimitus yksinkertaistaaksesi positiivista tai negatiivista merkkiä, kerro tai neliöi muut muuttujat. Voit tehdä sen seuraavasti:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Vaihe 6. Yksinkertaista neliöjuuri
Jos neliöjuuren alla oleva luku on täydellinen neliö, saat kokonaisluvun. Jos luku ei ole täydellinen neliö, yksinkertaista sen yksinkertaisimpaan juurimuotoon. Jos luku on negatiivinen ja uskot sen olevan negatiivinen, juuriarvo on monimutkainen. Tässä esimerkissä (121) = 11. Voit kirjoittaa x = (5 +/- 11)/6.
Vaihe 7. Etsi positiivisia ja kielteisiä vastauksia
Kun olet poistanut neliöjuuren merkin, voit löytää positiivisen ja negatiivisen tuloksen x: lle. Nyt kun sinulla on (5 +/- 11)/6, voit kirjoittaa 2 vastausta:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Vaihe 8. Täytä myönteiset ja kielteiset vastaukset
Suorita matemaattiset laskelmat:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Vaihe 9. Yksinkertaista
Yksinkertaista jokaista vastausta jakamalla suurin numero, joka voi jakaa molemmat numerot. Jaa ensimmäinen murto -osa 2: lla ja toinen 6: lla, ja olet löytänyt arvon x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Tapa 3/3: Täytä neliö
Vaihe 1. Siirrä kaikki muuttujat yhtälön toiselle puolelle
Varmista, että a tai muuttuja x2 positiivinen. Voit tehdä sen seuraavasti:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Tässä yhtälössä muuttuja a on 2, muuttuja b on -12 ja muuttuja c on -9
Vaihe 2. Siirrä muuttuja tai vakio c toiselle puolelle
Vakiot ovat numeerisia termejä ilman muuttujia. Siirry yhtälön oikealle puolelle:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Vaihe 3. Jaa molemmat puolet kerroimella a tai muuttujalla x2.
Jos x2 ei ole muuttujaa ja kerroin on 1, voit ohittaa tämän vaiheen. Tässä tapauksessa sinun on jaettava kaikki muuttujat 2: lla seuraavasti:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Vaihe 4. Jaa b kahdella, neliöi ja lisää tulos molemmille puolille
Tässä esimerkissä b: n arvo on -6. Voit tehdä sen seuraavasti:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Vaihe 5. Yksinkertaista molemmat puolet
Kerro muuttuja vasemmalla puolella saadaksesi (x-3) (x-3) tai (x-3)2. Lisää arvot oikealle saadaksesi 9/2 + 9 tai 9/2 + 18/2, joka on 27/2.
Vaihe 6. Etsi molemmin puolin neliöjuuri
Neliöjuuri (x-3)2 on (x-3). Voit kirjoittaa neliöjuuren 27/2 muodossa ± √ (27/2). Siten x - 3 = ± √ (27/2).
Vaihe 7. Yksinkertaista juuret ja etsi x: n arvo
Yksinkertaistaaksesi ± √ (27/2), etsi täydellinen neliö numeroiden 27 ja 2 väliltä tai kerro tämä luku. Täydellinen 9: n neliö löytyy 27: stä, koska 9 x 3 = 27. Jos haluat ottaa 9 neliöjuurista, ota 9 juurista ja kirjoita 3, neliöjuuri neliöjuuren ulkopuolelle. Jätä loput 3 neliön juuren alapuolelle jäävän murto -osoittimeen, koska 27 ei selvitä kaikkia tekijöitä, ja kirjoita 2 alla. Siirrä sitten vakio 3 yhtälön vasemmalla puolella oikealle ja kirjoita kaksi ratkaisua x: lle:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Vinkkejä
- Kuten näette, juurimerkit eivät katoa kokonaan. Näin ollen osoitinmuuttujia ei voida yhdistää (koska ne eivät ole samanlaisia). Ei ole mitään järkeä jakaa sitä positiiviseksi tai negatiiviseksi. Voimme kuitenkin jakaa sen samalla tekijällä, mutta VAIN jos tekijät ovat samat molemmille vakioille JA juurikerroin.
- Jos neliöjuuren alla oleva luku ei ole täydellinen neliö, viimeiset vaiheet ovat hieman erilaisia. Tässä on esimerkki:
- Jos b on parillinen luku, kaavasta tulee: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
