3 tapaa ottaa huomioon kolminaisuus

2024 Kirjoittaja: Jason Gerald | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-15 08:14

Kolminaisuus on algebrallinen lauseke, joka koostuu kolmesta termistä. Todennäköisesti alat oppia määrittämään toisen asteen kolminaisuuden, mikä tarkoittaa kirveen muodossa kirjoitettua trinomia² + bx + c. On opittava muutamia temppuja, joita voidaan käyttää monentyyppisiin toisen asteen kolmiotyyppeihin, mutta voit käyttää niitä paremmin ja nopeammin harjoittelemalla. Korkeamman asteen polynomeja, joiden termit ovat x³ tai x⁴, ei aina voida ratkaista samalla tavalla, mutta voit usein käyttää yksinkertaista factoringia tai korvaamista muuttaaksesi sen ongelmaksi, joka voidaan ratkaista kuten mikä tahansa muu neliökaava.

Vaihe

Menetelmä 1/3: Factoring x² + bx + c

Vaihe 1. Opi PLDT -kertolasku

Olet ehkä oppinut kertomaan PLDT: n tai "Ensimmäinen, ulkopuolella, sisään, viimeinen", jos haluat kertoa lausekkeita, kuten (x+2) (x+4). On hyödyllistä tietää, miten tämä kertolasku toimii, ennen kuin otamme huomioon:

• Lisää heimoja Ensimmäinen: (x+2)(x+4) = x² + _

• Lisää heimoja Ulkopuolella: (x+2) (x+

  Vaihe 4.) = x²+ 4x + _

• Lisää heimoja Sisään: (x+

  Vaihe 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• Lisää heimoja Lopullinen: (x+

  Vaihe 2.) (x

  Vaihe 4.) = x²+4x+2x

  Vaihe 8.

• Yksinkertaista: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Vaihe 2. Ymmärrä factoring

Kun kerrot kaksi binomia PLDT -menetelmällä, saat trinomiaalin (lauseke, jossa on kolme termiä) muodossa x²+ b x+ c, missä a, b ja c ovat tavallisia lukuja. Jos aloitat yhtälöllä, jolla on sama muoto, voit jakaa sen takaisin kahteen binomiin.

• Jos yhtälöitä ei ole kirjoitettu tässä järjestyksessä, järjestä yhtälöt uudelleen siten, että ne ovat tässä järjestyksessä. Kirjoita esimerkiksi uudelleen 3x - 10 + x² Tulee x² + 3x - 10.
• Koska suurin teho on 2 (x², tämän tyyppistä lauseketta kutsutaan neliöksi.

Vaihe 3. Jätä tyhjä tila vastaukselle PLDT -kertolaskun muodossa

Kirjoita toistaiseksi vain (_ _)(_ _) mihin kirjoitat vastauksen. Täytämme sen työskennellessämme

Älä kirjoita + tai - tyhjien termien väliin, koska emme tiedä vielä oikeaa merkkiä

Vaihe 4. Täytä ensimmäiset ehdot

Yksinkertaisissa ongelmissa trinomialin ensimmäinen termi on vain x², ensimmäisen sijainnin ehdot ovat aina x ja x. Nämä ovat termin x tekijät² koska x kertaa x = x².

• Esimerkki x² + 3x - 10 alkaen x: stä², joten voimme kirjoittaa:
• (x _) (x _)
• Seuraavassa osassa käsittelemme monimutkaisempia ongelmia, mukaan lukien trinomiaalit, jotka alkavat termeillä, kuten 6x² tai -x². Sillä välin seuraa näitä esimerkkikysymyksiä.

Vaihe 5. Arvaa viimeiset termit factoringin avulla

Jos palaat taaksepäin ja luet PLDT: n kertomisen vaiheet, huomaat, että viimeisten ehtojen kertominen tuottaa polynomin viimeisen termin (termit, joilla ei ole x). Joten tekijänä meidän on löydettävä kaksi numeroa, jotka kerrottuna tuottavat viimeisen termin.

• Esimerkissämme x² + 3x - 10, viimeinen termi on -10.
• Mitkä ovat tekijät -10? Mikä luku kerrotaan -10: llä?
• Mahdollisuuksia on useita: -1 kertaa 10, 1 kertaa -10, -2 kertaa 5 tai 2 kertaa -5. Kirjoita nämä parit jonnekin muistamaan ne.
• Älä muuta vastaustamme vielä. Vastauksemme pitäisi silti näyttää tältä: (x _) (x _).

Vaihe 6. Testaa ulko- ja sisätuotteita vastaavat mahdollisuudet

Olemme kaventaneet viimeiset ehdot muutamiin mahdollisuuksiin. Käytä koejärjestelmää testataksesi kaikki mahdollisuudet kertomalla ulko- ja sisätermit ja vertaamalla tuotetta trinomiaalimme. Esimerkiksi:

• Alkuperäisessä ongelmassamme oli termi "x" 3x, joten testituloksemme pitäisi vastata tätä termiä.
• Testit -1 ja 10: (x -1) (x+10). Ulkopuolella + sisällä = 10x - x = 9x. Väärä.
• Testit 1 ja -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Tämä on väärin. Itse asiassa, jos testaat -1 ja 10, huomaat, että 1 ja -10 ovat vastakohtia yllä olevalle vastaukselle: -9x 9x sijasta.
• Testit -2 ja 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Tulos vastaa alkuperäistä polynomia, joten tässä on oikea vastaus: (x-2) (x+5).
• Tällaisissa yksinkertaisissa tapauksissa, jos sinulla ei ole vakio termin x edessä², voit käyttää nopeaa tapaa: lisää nämä kaksi tekijää yhteen ja kirjoita "x" sen taakse (-2+5 → 3x). Tämä menetelmä ei kuitenkaan toimi monimutkaisemmissa ongelmissa, joten on parempi muistaa edellä kuvattu "pitkä matka".

Menetelmä 2/3: monimutkaisempien kolminaisuuksien faktorointi

Vaihe 1. Käytä yksinkertaista factoringia tehdäksesi monimutkaisemmista ongelmista yksinkertaisempia

Esimerkiksi sinun on otettava huomioon 3x² + 9x - 30. Etsi luku, joka voi ottaa huomioon kaikki kolme termiä ("suurin yhteinen tekijä" tai GCF). Tässä tapauksessa GCF on 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Siis 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Voimme laskea uuden trinomiaalin käyttämällä yllä olevan osan vaiheita. Lopullinen vastauksemme on (3) (x-2) (x+5).

Vaihe 2. Etsi monimutkaisempia tekijöitä

Joskus factoring voi sisältää muuttujan, tai sinun on ehkä otettava tekijä useita kertoja löytääksesi yksinkertaisin mahdollinen lauseke. Tässä muutamia esimerkkejä:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2v)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Älä unohda rakentaa uutta trinomiaalia uudelleen menetelmän 1 ohjeiden mukaisesti. Tarkista työsi ja etsi esimerkkejä vastaavista ongelmista tämän sivun alareunassa olevista esimerkkikysymyksistä.

Vaihe 3. Ratkaise ongelmat, joissa on numero x: n edessä².

Joitakin toisen asteen trinomeja ei voida vähentää helpoimmaksi ongelmatyypiksi. Opi ratkaisemaan 3x kaltaisia ongelmia² + 10x + 8, harjoittele sitten itse tämän sivun alareunassa olevilla esimerkkikysymyksillä:

• Aseta vastauksemme: (_ _)(_ _)
• Ensimmäisillä termeillämme on yksi x, ja niiden kertominen antaa 3x². On vain yksi mahdollisuus: (3x _) (x _).
• Listaa tekijät 8. Kertoimet ovat 1 kertaa 8 tai 2 kertaa 4.
• Testaa tämä mahdollisuus käyttämällä ulkoisia ja sisäisiä termejä. Huomaa, että tekijöiden järjestys on erittäin tärkeä, koska ulompi termi kerrotaan 3x x: n sijasta. Kokeile kaikkia mahdollisuuksia, kunnes saat Out+In = 10x (alkuperäisestä ongelmasta):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x ei
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x ei
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x ei
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Joo. Tämä on oikea tekijä.

Vaihe 4. Käytä korkeamman asteen trinomiaalien korvaamista

Matematiikkakirjasi saattaa yllättää sinut yhtälöillä, joilla on suuret voimat, kuten x⁴, vaikka olisit käyttänyt yksinkertaista factoringia ongelman helpottamiseksi. Kokeile korvata uusi muuttuja, joka muuttaa sen ongelmaksi, jonka osaat ratkaista. Esimerkiksi:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Luodaan uusi muuttuja. Sanotaan y = x² ja laita siihen:
• (x) (y²+13v+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Muunna se nyt takaisin alkuperäiseen muuttujaan:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Tapa 3/3: Erikoistapausten faktorointi

Vaihe 1. Etsi alkuluvut

Katso, onko trinomiaalin ensimmäisen tai kolmannen termin vakio alkuluku. Alkuluku on jaollinen vain itsestään ja 1, joten binomitekijöitä on vain yksi mahdollinen pari.

• Esimerkiksi x: ssä² + 6x + 5, 5 on alkuluku, joten binomiaalin on oltava muodoltaan (_ 5) (_ 1).
• Ongelmassa 3x²+10x+8, 3 on alkuluku, joten binomiaalin on oltava muodoltaan (3x _) (x _).
• Kysymyksiin 3x²+4x+1, sekä 3 että 1 ovat alkulukuja, joten ainoa mahdollinen ratkaisu on (3x+1) (x+1). (Sinun tulee silti kertoa tämä luku tarkistaaksesi vastauksesi, koska joitakin ilmaisuja ei voida ottaa huomioon ollenkaan - esimerkiksi 3x²+100x+1 ei kerro.)

Vaihe 2. Selvitä, onko trinomiumi täydellinen neliö

Täydellinen neliönmuotoinen kolminaisuus voidaan jakaa kahteen identtiseen binomiin, ja kerroin kirjoitetaan yleensä muodossa (x+1)² eikä (x+1) (x+1). Seuraavassa on muutamia esimerkkejä, jotka yleensä esiintyvät kysymyksissä:

• x²+2x+1 = (x+1)²ja x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)²ja x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)²ja x²-6x+9 = (x-3)²
• Täydellinen kolmionmuotoinen kolmionmuoto muodossa x² + bx + c sisältää aina termit a ja c, jotka ovat positiivisia täydellisiä neliöitä (kuten 1, 4, 9, 16 tai 25) ja yksi termi b (positiivinen tai negatiivinen), joka on 2 (√a * √c).

Vaihe 3. Selvitä, onko ongelmaan ratkaisua

Kaikkia trinomeja ei voida ottaa huomioon. Jos et voi laskea toisen asteen trinomia (akseli)²+bx+c), käytä toisen asteen kaavaa löytääksesi vastauksen. Jos ainoa vastaus on negatiivisen luvun neliöjuuri, reaalilukuratkaisua ei ole, ongelmalla ei ole tekijöitä.

Jos kyseessä ei ole neliömäinen trinomi, käytä Eisenstein-kriteeriä, joka on kuvattu Vinkit-osiossa

Vastauksia ja esimerkkikysymyksiä

1. Vastaukset "monimutkaisiin faktointi" -kysymyksiin.

   Nämä ovat kysymyksiä "monimutkaisempien tekijöiden" vaiheesta. Olemme yksinkertaistaneet ongelmat helpommiksi, joten yritä ratkaista ne menetelmän 1 vaiheiden mukaisesti ja tarkista sitten työsi täältä:

   • (2v) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Kokeile monimutkaisempia factoring -ongelmia.

   Näillä ongelmilla on sama tekijä jokaisessa termissä, joka on otettava huomioon ensin. Estä tyhjät kohdat yhtäläisyysmerkin jälkeen nähdäksesi vastaukset, jotta voit tarkistaa työsi:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) estä aihio nähdäksesi vastauksen
   • -5x³y²+30x²y²-25v²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Harjoittele kysymysten käyttöä. Näitä ongelmia ei voida ottaa huomioon helpommissa yhtälöissä, joten sinun on löydettävä vastaus lomakkeesta (_x + _) (_ x + _) käyttämällä kokeilua ja erehdystä:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) -lohko nähdäksesi vastauksen
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Vihje: Voit kokeilla useampaa kuin yhtä tekijäparia 9x.)

   Vinkkejä

   • Jos et voi selvittää, kuinka tekijä neliöllinen kolminaisuus (kirves²+bx+c), voit käyttää toisen asteen kaavaa löytääksesi x: n.

   • Vaikka sinun ei tarvitse tietää, miten tämä tehdään, voit käyttää Eisenstein -kriteerejä nopeasti selvittääksesi, onko polynomia yksinkertaistettava ja otettava huomioon. Tämä kriteeri koskee mitä tahansa polynomia, mutta sitä käytetään parhaiten trinomeille. Jos on alkuluku p, joka jakaa kaksi viimeistä termiä tasaisesti ja täyttää seuraavat ehdot, niin polynomia ei voida yksinkertaistaa:

     • Vakiotermit (ilman muuttujia) ovat p: n kerrannaisia, mutta eivät p: n kerrannaisia².
     • Etuliite (esimerkiksi a kirveessä²+bx+c) ei ole p: n monikerta.
     • Esimerkiksi 14x² +45x +51 ei voida yksinkertaistaa, koska on olemassa alkuluku (3), joka voidaan jakaa sekä 45: llä että 51: llä, mutta ei jaettavissa 14: llä, ja 51 ei ole jaollinen 3: lla².

   Varoitus

   Vaikka tämä pätee toisen asteen kolmikkoihin, huomioon otettava kolminaisuus ei välttämättä ole kahden binomin tulos. Esimerkiksi x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).