Ennen kuin laskimet keksittiin, opiskelijoiden ja professoreiden oli laskettava neliöjuuret manuaalisesti. Tämän vaikean prosessin voittamiseksi on kehitetty useita erilaisia tapoja. Jotkut tavat antavat karkean arvion ja toiset antavat tarkan arvon. Jos haluat oppia löytämään luvun neliöjuuren yksinkertaisilla toiminnoilla, aloita vaiheesta 1 alla.
Vaihe
Menetelmä 1 /2: Prime Factorization
Vaihe 1. Jaa numerosi täydellisiin neliökertoimiin
Tämä menetelmä käyttää luvun tekijöitä löytääkseen luvun neliöjuuren (numerosta riippuen vastaus voi olla tarkka luku tai läheinen likimäärä). Luvun tekijät ovat joukko muita numeroita, jotka kerrottuna tuottavat kyseisen luvun. Voit esimerkiksi sanoa, että tekijät 8 ovat 2 ja 4, koska 2 × 4 = 8. Samaan aikaan täydelliset neliöt ovat kokonaislukuja, jotka ovat muiden kokonaislukujen tuloa. Esimerkiksi 25, 36 ja 49 ovat täydellisiä neliöitä, koska ne ovat vastaavasti 52, 62ja 72. Kuten arvata saattaa, täydelliset neliötekijät ovat tekijöitä, jotka ovat myös täydellisiä neliöitä. Aloittaaksesi neliöjuuren löytämisen alkutekijöiden avulla, yritä ensin yksinkertaistaa numerosi täydellisiksi neliökertoimiksi.
- Käytetään esimerkkiä. Haluamme löytää 400: n neliöjuuren manuaalisesti. Aluksi jaamme luvun sen täydellisiin neliötekijöihin. Koska 400 on sadan kerrannainen, tiedämme, että 400 on jaollinen 25: llä - täydellinen neliö. Kun varjot jaetaan nopeasti, havaitsemme, että 400 jaettuna 25: llä on 16. Sattumalta 16 on myös täydellinen neliö. Täydelliset neliökerroimet 400 ovat siis 25 ja 16 koska 25 × 16 = 400.
- Voimme kirjoittaa sen seuraavasti: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Vaihe 2. Etsi täydellisen neliökerroimesi neliöjuuri
Neliöjuuren kerto -ominaisuus sanoo, että minkä tahansa luvun a ja b kohdalla Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Tämän ominaisuuden vuoksi voimme nyt löytää täydellisten neliötekijöidemme neliöjuuren ja kertoa ne saadaksemme vastauksemme.
-
Esimerkistämme löydät neliöjuuret 25 ja 16. Katso alla:
- Juuri (25 × 16)
- Juuri (25) × Juuri (16)
-
5 × 4 =
Vaihe 20.
Vaihe 3. Jos numeroasi ei voida laskea täydellisesti, yksinkertaista vastaustasi yksinkertaisimpaan muotoonsa
Tosielämässä usein neliöjuuren etsimiseen tarvittavat luvut eivät ole miellyttäviä kokonaislukuja, joilla on ilmeiset täydelliset neliökertoimet, kuten 400. Näissä tapauksissa on mahdollista, että emme löydä oikeaa vastausta kokonaislukuna. Kuitenkin löytämällä niin monta täydellistä neliötekijää kuin voit löytää, voit löytää vastauksen neliöjuurena, joka on pienempi, yksinkertaisempi ja helpompi laskea. Voit tehdä tämän vähentämällä numerosi täydellisten neliötekijöiden ja epätäydellisten neliötekijöiden yhdistelmään ja yksinkertaista sitten.
-
Käytetään esimerkkinä neliöjuuri 147. 147 ei ole kahden täydellisen neliön tulos, joten emme voi saada tarkkaa kokonaislukuarvoa kuten yllä. Kuitenkin 147 on yhden täydellisen neliön ja toisen luvun - 49 ja 3. - tulos. Voimme käyttää näitä tietoja kirjoittaaksemme vastauksemme yksinkertaisimmassa muodossaan seuraavasti:
- Juuri (147)
- = Juuri (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Juuri (3)
Vaihe 4. Arvioi tarvittaessa
Neliöjuuren yksinkertaisimmassa muodossa on yleensä melko helppo saada karkea arvio numerovastauksesta arvaamalla jäljellä olevan neliöjuuren arvo ja kertomalla se. Yksi tapa ohjata arvaustasi on etsiä täydellisiä neliöitä, jotka ovat suurempia ja pienempiä kuin neliöjuurisi luku. Huomaat, että neliöjuuren luvun desimaaliarvo on kahden numeron välissä, joten voit arvata kahden numeron välisen arvon.
-
Palataan esimerkkiimme. koska 22 = 4 ja 12 = 1, tiedämme, että juuri (3) on välillä 1 - 2 - luultavasti lähempänä 2 kuin 1. Arvioimme 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Jos tarkistamme vastauksemme laskimesta, voimme nähdä, että vastauksemme on melko lähellä todellista vastausta 12, 13.
Tämä koskee myös suurempia numeroita. Esimerkiksi juuri (35) voidaan arvioida väliltä 5 ja 6 (mahdollisesti lähempänä kuutta). 52 = 25 ja 62 = 36. 35 on välillä 25 ja 36, joten neliöjuuren on oltava välillä 5 ja 6. Koska 35 on vain yksi vähemmän kuin 36, voimme sanoa luottavaisin mielin, että neliöjuuri on hieman alle 6. Laskurilla tarkistaminen anna meille vastaus noin 5, 92 - olemme oikeassa.
Vaihe 5. Vaihtoehtoisesti voit pienentää numerosi vähiten yleisiin tekijöihin ensimmäisenä askeleena
Täydellisten neliöiden tekijöiden löytäminen ei ole välttämätöntä, jos voit helposti määrittää luvun alkutekijät (tekijät, jotka ovat myös alkulukuja). Kirjoita numerosi sen vähiten yleisiin tekijöihin. Etsi sitten tekijöitä vastaavat alkuluvuparit. Kun löydät kaksi alkutekijää, jotka ovat samat, poista nämä kaksi numeroa neliöjuurista ja aseta yksi näistä numeroista neliöjuuren ulkopuolelle.
-
Etsi esimerkiksi neliöjuuri 45 tällä menetelmällä. Tiedämme, että 45 × 5 ja tiedämme, että alle 9 = 3 × 3. Siten voimme kirjoittaa neliöjuurimme seuraavilla tekijöillä: Sqrt (3 × 3 × 5). Poista vain molemmat 3 ja aseta yksi 3 neliöjuuren ulkopuolelle yksinkertaistaaksesi neliöjuuren yksinkertaisimpaan muotoonsa: (3) Juuri (5).
Tästä lähtien meidät on helppo arvioida.
-
Viimeisenä esimerkkitehtävänä yritetään löytää 88: n neliöjuuri:
- Juuri (88)
- = Juuri (2 × 44)
- = Juuri (2 × 4 × 11)
- = Juuri (2 × 2 × 2 × 11). Meillä on noin 2 neliöjuurissamme. Koska 2 on alkuluku, voimme poistaa 2s -parin ja laittaa yhden niistä neliöjuuren ulkopuolelle.
-
= Neliöjuurimme yksinkertaisimmassa muodossaan on (2) Sqrt (2 × 11) tai (2) Juuri (2) Juuri (11).
Sieltä voimme arvioida neliöt (2) ja neliöt (11) ja löytää likimääräisen vastauksen haluamallamme tavalla.
Tapa 2/2: Neliöjuuren löytäminen manuaalisesti
Long Division -algoritmin käyttäminen
Vaihe 1. Erota numerosi numerot pareiksi
Tämä menetelmä käyttää pitkän jakamisen kaltaista prosessia tarkan neliöjuuren numeron löytämiseksi numerolta. Vaikka se ei ole pakollista, saattaa olla helpompi suorittaa tämä prosessi, jos järjestät visuaalisesti työpaikkasi ja numerosi helposti työstettäviksi osiksi. Piirrä ensin pystysuora viiva, joka jakaa työalueesi kahteen osaan, ja piirrä sitten lyhyempi vaakasuora viiva lähellä oikeaa yläosaa jakaaksesi oikean osan pienempään yläosaan ja suurempaan alaosaan. Erota sitten numerosi pareiksi, alkaen desimaalipisteestä. Esimerkiksi tämän säännön mukaisesti 79 520 789 182, 47897 muuttuu "7 95 20 78 91 82 47 47 70 70". Kirjoita numerosi vasempaan yläkulmaan.
Yritetään esimerkiksi laskea neliöjuuri 780, 14. Piirrä kaksi viivaa jakamaan työpaikkasi kuten edellä ja kirjoita "7 80. 14" vasempaan yläkulmaan. Sillä ei ole väliä, onko vasemmanpuoleisin numero yksittäinen numero eikä numeropari. Kirjoitat vastauksesi (neliöjuuri 780, 14) oikeassa yläkulmassa
Vaihe 2. Etsi suurin kokonaisluku, jonka neliöarvo on pienempi tai yhtä suuri kuin vasemman reunan luku (tai numeropari)
Aloita numerosi vasemmasta reunasta, sekä numeropareista että yksittäisistä numeroista. Etsi suurin täydellinen neliö, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin tämä luku, ja etsi sitten tämän täydellisen neliön neliöjuuri. Tämä luku on n. Kirjoita n oikeaan yläkulmaan ja kirjoita neliö n oikeaan alakulmaan.
Esimerkissämme äärimmäinen vasen on numero 7. Koska tiedämme, että 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, voimme sanoa, että n = 2, koska 2 on suurin kokonaisluku, jonka neliöarvo on pienempi tai yhtä suuri kuin 7. Kirjoita 2 oikeassa yläkulmassa. Tämä on vastauksemme ensimmäinen numero. Kirjoita 4 (neliöarvo 2) oikeaan alakulmaan. Tämä numero on tärkeä seuraavassa vaiheessa.
Vaihe 3. Vähennä juuri laskamasi luku vasemmasta parista
Kuten pitkän jakamisen tapauksessa, seuraava askel on vähentää juuri löytämämme neliön arvo juuri analysoidusta osasta. Kirjoita tämä numero ensimmäisen osan alle ja vähennä se kirjoittamalla vastauksesi sen alle.
-
Esimerkissämme kirjoitetaan 4 alle 7 ja vähennetään se. Tämä vähennys antaa vastauksen
Vaihe 3..
Vaihe 4. Pudota seuraava pari
Siirry sen luvun seuraavaan osaan, jolle etsit neliöjuurta, juuri löytämäsi vähennysarvon vieressä. Kerro seuraavaksi oikeassa yläkulmassa oleva luku kahdella ja kirjoita vastaus oikeaan alakulmaan. Jätä juuri kirjoittamasi numeron viereen välilyönti kertolaskutehtävälle, jonka teet seuraavassa vaiheessa kirjoittamalla '"_ × _ ="'.
Esimerkissämme seuraava numeropari on "80". Kirjoita "80" vasemman neljänneksen 3 viereen. Kerro seuraavaksi oikeassa yläkulmassa oleva luku kahdella. Tämä luku on 2, joten 2 × 2 = 4. Kirjoita oikeaan alakulmaan "4" ja sen jälkeen _×_=.
Vaihe 5. Täytä tyhjät kohdat oikeassa neljänneksessä
Sinun on täytettävä kaikki juuri kirjoittamasi tyhjät kohdat oikealla neljänneksellä samalla kokonaisluvulla. Tämän kokonaisluvun on oltava suurin kokonaisluku, joka tekee tuotteen oikeassa neljänneksessä pienemmäksi tai yhtä suureksi kuin vasemmalla oleva luku.
Esimerkissämme täytämme tyhjät kohdat 8, jolloin tuloksena on 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Tämä arvo on suurempi kuin 384. Näin ollen 8 on liian suuri, mutta 7 saattaa toimia. Kirjoita 7 tyhjään kohtaan ja ratkaise: 4 (7) × 7 = 329. 7 on oikea luku, koska 329 on pienempi kuin 380. Kirjoita 7 oikeassa yläkulmassa. Tämä on toinen numero neliöjuurissa 780, 14
Vaihe 6. Vähennä juuri laskamasi luku vasemmalla olevasta numerosta
Jatka vähennysketjua pitkäjakoisella menetelmällä. Ota ongelman tuote oikeaan neljännekseen ja vähennä se vasemmalla olevasta numerosta kirjoittaessasi vastauksesi alla.
Esimerkissämme vähennämme 329 numerosta 380, mikä antaa tuloksen 51.
Vaihe 7. Toista vaihe 4
Johda numeron seuraava osa, jolle etsit neliöjuurta. Kun saavutat numerosi desimaalipilkun, kirjoita desimaalipiste vastaukseesi oikeassa yläkulmassa. Kerro sitten oikeassa yläkulmassa oleva luku kahdella ja kirjoita se tyhjän kertolaskun ("_ × _") viereen kuten edellä.
Esimerkissämme, koska käsittelemme nyt desimaalilukua kohdissa 780, 14, kirjoita desimaalipiste nykyisen vastauksemme jälkeen oikeaan yläkulmaan. Laske seuraavaksi vasemman neljänneksen seuraava pari (14) alas. Kaksi kertaa oikeassa yläkulmassa oleva luku (27) on 54, joten kirjoita "54 _ × _ =" oikeaan alakulmaan
Vaihe 8. Toista vaiheet 5 ja 6
Etsi suurin numero täyttääksesi tyhjät kohdat oikealta, mikä antaa vastauksen, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin vasemmalla oleva numero. Ratkaise sitten ongelma.
Esimerkissämme 549 × 9 = 4941, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin vasemmalla oleva luku (5114). 549 × 10 = 5490 on liian suuri, joten 9 on vastauksesi. Kirjoita seuraava numero 9 oikeaan yläkulmaan ja vähennä tuote vasemmalla olevasta numerosta: 5114 miinus 4941 on 173
Vaihe 9. Jos haluat jatkaa numeroiden laskemista, laske nollapari vasemmalla ja toista vaiheet 4, 5 ja 6
Jos haluat tarkkuuden, jatka tätä prosessia löytääksesi satoja, tuhansia ja enemmän paikkoja vastauksestasi. Jatka tämän syklin käyttöä, kunnes löydät haluamasi desimaalin.
Prosessin ymmärtäminen
Vaihe 1. Kuvittele luku, josta laskit neliöjuuren neliön alueeksi S
Koska neliön pinta -ala on P2 jossa P on jonkin sivun pituus, yrittämällä löytää numerosi neliöjuuri, yrität itse laskea neliön sivun pituuden P.
Vaihe 2. Määritä kirjainmuuttujat vastauksesi jokaiselle numerolle
Aseta muuttuja A P: n ensimmäiseksi numeroksi (neliöjuuri, jota yritämme laskea). B on toinen numero, C kolmas numero ja niin edelleen.
Vaihe 3. Määritä kirjainmuuttujat jokaiselle aloitusnumerosi osalle
Aseta muuttuja Sa S: n ensimmäiselle numeroparille (alkuperäinen arvo), Sb toiselle numeroparille jne.
Vaihe 4. Ymmärrä tämän menetelmän ja pitkän jakamisen välinen suhde
Tämä menetelmä neliöjuuren löytämiseksi on pohjimmiltaan pitkä jako -ongelma, joka jakaa alkuperäisen numerosi neliöjuurella ja antaa sinulle vastauksen neliöjuuren. Aivan kuten pitkän jakamisen ongelmassa, olet kiinnostunut vain seuraavasta numerosta jokaisessa vaiheessa. Tällä tavalla olet kiinnostunut vain seuraavista kahdesta numerosta kussakin vaiheessa (joka on seuraava numero jokaisessa vaiheessa neliöjuurelle).
Vaihe 5. Etsi suurin numero, jonka neliöarvo on pienempi tai yhtä suuri kuin Sa.
Vastauksemme A ensimmäinen numero on suurin kokonaisluku, jonka neliöarvo ei ylitä S: ääa (eli A niin, että A² Sa <(A+1) ²). Esimerkissämme S.a = 7 ja 2² 7 <3², joten A = 2.
Huomaa, että jos esimerkiksi haluat jakaa 88962 7: llä pitkän jakamisen avulla, ensimmäiset vaiheet ovat suunnilleen samat: näet 88962: n ensimmäisen numeron (joka on 8) ja etsit suurinta numeroa joka kerrottuna 7: llä on pienempi tai yhtä suuri kuin 8 Periaatteessa etsit d: tä niin, että 7 × d 8 <7 × (d+1). Tässä tapauksessa d on 1
Vaihe 6. Kuvittele neliön arvo, jonka pinta -alaa aiot aloittaa
Vastauksesi, aloitusnumerosi neliöjuuri, on P, joka kuvaa neliön pituutta alueella S (aloitusnumerosi). Arvosanasi A, B, C edustavat P: n numeroita. Toinen tapa sanoa tämä on 10A + B = P (kaksinumeroinen vastaus), 100A + 10B + C = P (kolmen numeroinen vastaus) jne.
Esimerkissämme (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Muista, että 10A+B edustaa vastaustamme P, jossa B on ykkönen ja A kymmenessä. Esimerkiksi jos A = 1 ja B = 2, 10A+B on 12. (10A+B) ² on neliön kokonaispinta -ala, kun taas 100A² on sen suurimman neliön alue, B² on pienimmän neliön pinta -ala ja 10A × B on kahden jäljellä olevan suorakulmion pinta -ala. Kun teemme tämän pitkän ja mutkikkaan prosessin, löydämme neliön kokonaispinta -alan laskemalla yhteen neliöiden ja suorakulmioiden alueet.
Vaihe 7. Vähennä A² S: stäa.
Vähennä yhtä numeroparia (SbS: n arvoa Sb lähellä neliön kokonaispinta -alaa, jota käytit juuri vähentämään suuremman sisäisen neliön. Loput voidaan ajatella numerona N1, jonka saimme vaiheessa 4 (N1 = 380 esimerkissämme). N1 on 2 ja kertaa: 10A × B + B² (kahden suorakulmion pinta -ala plus pienemmän neliön pinta -ala).
Vaihe 8. Etsi N1 = 2 × 10A × B + B², joka kirjoitetaan myös muodossa N1 = (2 × 10A + B) × B
Esimerkissämme tiedät jo N1 (380) ja A (2), joten sinun on löydettävä B. B ei todennäköisesti ole kokonaisluku, joten sinun on todella löydettävä suurin kokonaisluku B siten, että (2 × 10A + B) × B N1. Joten sinulla on: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Vaihe 9. Viimeistele
Voit ratkaista tämän yhtälön kertomalla A: n 2: lla, siirtämällä tuloksen kymmeniin (vastaava kuin kertomalla 10: llä), asettamalla B ykkösasentoon ja kertomalla luku B: llä. Toisin sanoen ratkaise (2 × 10A + B) × B. Näin teet, kun kirjoitat "N_ × _ =" (N = 2 × A) oikeassa alakulmassa vaiheessa 4. Vaiheessa 5 löydät suurimman kokonaisluvun B, joka vastaa sen alapuolella oleva numero siten, että (2 × 10A + B) × B N1.
Vaihe 10. Vähennä pinta -ala (2 × 10A + B) × B kokonaispinta -alasta
Tämä vähennys johtaa alueeseen S- (10A+B) ², jota ei ole laskettu (ja jota käytetään seuraavan numeron laskemiseen samalla tavalla).
Vaihe 11. Laske seuraava numero C toistamalla prosessi
Laske seuraava pari (S.c) S: stä saadaksesi N2 vasemmalle ja etsi suurin C niin, että sinulla on (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (vastaa kaksinumeroisen luvun AB kirjoittamista ja sen jälkeen "_ × _ =". Etsi tyhjästä suurin vastaava numero, joka antaa vastauksen, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin N2, kuten aiemmin.
Vinkkejä
- Desimaalipisteen siirtäminen luvun kahden numeron kerrannaisella (100: n kerrannainen) tarkoittaa desimaalipisteen siirtämistä yhden neliön kerrannaisella neliöjuurissaan (kymmenen kerrannaisena).
- Tässä esimerkissä 1,73 voidaan pitää "jäännöksenä": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Tätä menetelmää voidaan käyttää mihin tahansa pohjaan, ei vain pohjaan 10 (desimaali).
- Voit käyttää laskentaa, joka on sinulle kätevämpi. Jotkut ihmiset kirjoittavat tuloksen alkuperäisen numeron yläpuolelle.
- Vaihtoehtoinen tapa käyttää toistuvia murto -osia on noudattaa tätä kaavaa: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Esimerkiksi neliöjuuren 780, 14 laskemiseksi kokonaisluku, jonka neliöarvo on lähimpänä 780, 14, on 28, joten z = 780, 14, x = 28 ja y = -3, 86. Arvojen syöttäminen ja laskemalla estimaatit vain x + y/(2x): lle saadaan (yksinkertaisimmin sanottuna) 78207/20800 tai noin 27 931 (1); seuraava kausi, 4374188/156607 tai noin 27, 930986 (5). Jokainen termi lisää noin 3 desimaalia edellisen desimaalin tarkkuuteen.
