Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamisen oppiminen on yksi avain perusalgebran hallintaan ja hyödyllisin työkalu, joka matemaatikolla on oltava. Yksinkertaistamisen avulla matemaatikot voivat muuntaa monimutkaiset, pitkät ja/tai parittomat lausekkeet yksinkertaisemmiksi tai helpommiksi vastaaviksi lausekkeiksi. Yksinkertaistamisen perustaidot on erittäin helppo oppia - jopa niille, jotka vihaavat matematiikkaa. Seuraamalla muutamia yksinkertaisia vaiheita on mahdollista yksinkertaistaa monia yleisimmin käytettyjä algebrallisten lausekkeiden tyyppejä käyttämättä matematiikan erityisosaamista. Aloita tutustumalla vaiheeseen 1!
Vaihe
Tärkeiden käsitteiden ymmärtäminen
Vaihe 1. Ryhmittele samankaltaiset termit niiden muuttujien ja valtuuksien mukaan
Algebrassa samanlaisilla termeillä on sama muuttuva kokoonpano ja sama teho. Toisin sanoen, jotta kaksi termiä ovat yhtä suuret, niillä on oltava sama muuttuja tai ei lainkaan muuttujaa, ja jokaisella muuttujalla on sama teho tai ei eksponenttia. Muuttujien järjestyksellä ei ole merkitystä.
Esimerkiksi 3x2 ja 4x2 ovat samankaltaisia termejä, koska niillä molemmilla on muuttuja x neliön voimalla. Kuitenkin x ja x2 eivät ole samankaltaisia termejä, koska jokaisella termillä on muuttuja x, jolla on erilainen teho. Lähes samat, -3yx ja 5xz eivät ole samankaltaisia termejä, koska jokaisella termillä on eri muuttuja.
Vaihe 2. Kerroin kirjoittamalla luku kahden tekijän tuloksi
Faktorointi on käsite, jossa tietty luku kirjoitetaan muistiin kahden kertoimen tulona. Numeroilla voi olla useita tekijöitä - esimerkiksi 12 voidaan saada 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4, joten voimme sanoa, että 1, 2, 3, 4, 6 ja 12 ovat tekijöitä Toinen tapa kuvitella on, että luvun tekijät ovat numeroita, jotka jakavat luvun kokonaisuudessaan.
- Jos esimerkiksi haluaisimme saada tekijän 20, voisimme kirjoittaa sen muodossa 4 × 5.
- Huomaa, että myös muuttuvat termit voidaan ottaa huomioon. Esimerkiksi -20x voidaan kirjoittaa muodossa 4 (5x).
- Alkulukuja ei voi ottaa huomioon, koska ne voidaan jakaa vain itse ja 1.
Vaihe 3. Muista toimintojen järjestys lyhenteellä KaPaK BoTaK
Joskus lausekkeen yksinkertaistaminen yksinkertaisesti ratkaisee yhtälön operaation, kunnes se ei enää toimi. Näissä tapauksissa on erittäin tärkeää muistaa toimintojen järjestys, jotta aritmeettisia virheitä ei esiinny. Lyhenne KaPaK BoTaK auttaa sinua muistamaan toimintojen järjestyksen - kirjaimet osoittavat suoritettavat toiminnot seuraavassa järjestyksessä:
- Kepäonnistua
- Phissi
- Kali
- Buudelleen
- Tlisätä
- Kkatkarapu
Tapa 1 /3: Yhdistä samankaltaiset ehdot
Vaihe 1. Kirjoita yhtälösi muistiin
Yksinkertaisimmat algebralliset yhtälöt, joissa on vain muutama muuttuva termi kokonaislukukertoimilla ilman murtolukuja, juuria jne., Voidaan usein ratkaista vain muutamalla askeleella. Useimpien matemaattisten tehtävien osalta ensimmäinen askel yhtälön yksinkertaistamiseksi on kirjoittaa se muistiin!
Esimerkkiongelmana käytämme seuraavissa vaiheissa lauseketta 1 + 2x - 3 + 4x.
Vaihe 2. Tunnista samanlaiset heimot
Etsi seuraavaksi samankaltaisia termejä yhtälöstäsi. Muista, että samankaltaisilla termeillä on sama muuttuja ja eksponentti.
Tunnistetaan esimerkiksi samankaltaiset termit yhtälöstämme 1 + 2x - 3 + 4x. 2x ja 4x molemmilla on sama muuttuja samalla teholla (tässä tapauksessa x: llä ei ole eksponenttia). Myös 1 ja -3 ovat samankaltaisia termejä, koska niissä ei ole muuttujia. Joten yhtälöissämme 2x ja 4x ja 1 ja -3 ovat samanlaisia heimoja.
Vaihe 3. Yhdistä samankaltaiset termit
Nyt kun olet tunnistanut samankaltaisia termejä, voit yhdistää ne yksinkertaistaaksesi yhtälöäsi. Lisää termejä (tai vähennä negatiivisten termien tapauksessa), jos haluat pienentää saman muuttujan ja eksponentin termisarjaa yhdeksi yhtä suureksi termiksi.
-
Lisätään samankaltaisia termejä esimerkkiimme.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Vaihe 4. Luo yksinkertaisempi yhtälö yksinkertaistetuista termeistä
Kun olet yhdistänyt samankaltaiset termisi, tee yhtälö uudesta, pienemmästä termisarjasta. Saat yksinkertaisemman yhtälön, jolla on yksi termi alkuperäisen yhtälön eri muuttuja- ja tehosarjoille. Tämä uusi yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöä.
Esimerkissämme yksinkertaistetut termimme ovat 6x ja -2, joten uusi yhtälö on 6x - 2. Tämä yksinkertainen yhtälö vastaa alkuperäistä (1 + 2x - 3 + 4x), mutta lyhyempi ja helpompi käsitellä. Se on myös helpompi ottaa huomioon, mitä tarkastelemme alla, mikä on toinen tärkeä yksinkertaistava taito.
Vaihe 5. Noudata toimintojen järjestystä, kun yhdistät samankaltaisia termejä
Hyvin yksinkertaisissa yhtälöissä, kuten yllä olevassa esimerkkitehtävässä, käsittelemme samanlaisia termejä helposti. Monimutkaisemmissa yhtälöissä, kuten lausekkeissa, jotka sisältävät sulkeellisia termejä, murtolukuja ja juuria, kuten yhdistettävät termit eivät ehkä ole selvästi näkyvissä. Noudata näissä tapauksissa toimintojen järjestystä ja suorita toimintoja lausekkeesi ehdoilla tarpeen mukaan, kunnes lisäys- ja vähennystoiminnot ovat jäljellä.
-
Käytetään esimerkiksi yhtälöä 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8-3x. Olisi väärin pitää 3x ja 2x välittömästi samankaltaisina termeinä ja yhdistää ne, koska lausekkeen sulut osoittavat, että meidän on ensin tehtävä muita toimintoja. Ensin suoritamme lausekkeelle aritmeettisia operaatioita toimintojen järjestyksessä saadaksemme termejä, joita voimme käyttää. Katso seuraavaa:
- 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8-3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Nyt kun jäljellä olevat toiminnot ovat vain yhteenlasku ja vähennys, voimme yhdistää samankaltaisia termejä.
- x2 + (15x - 3x) + (8-5)
- x2 + 12x + 3
Menetelmä 2/3: Factoring
Vaihe 1. Tunnista lausekkeen suurin yhteinen tekijä
Faktorointi on tapa yksinkertaistaa lauseketta poistamalla lausekkeen kaikki samankaltaiset tekijät. Aloita etsimällä suurin yhteinen tekijä, joka kaikilla termeillä on - toisin sanoen suurin luku, joka jakaa kaikki lausekkeen termit kokonaisuudessaan.
-
Käytetään 9x -yhtälöä2 + 27x - 3. Huomaa, että jokainen tämän yhtälön termi on jaollinen 3. Koska termit eivät jakaudu suuremmalla luvulla, voimme sanoa, että
Vaihe 3. on suurin yhteinen tekijämme.
Vaihe 2. Jaa lausekkeen termit suurimmalla yhteisellä tekijällä
Jaa seuraavaksi jokainen termi yhtälössäsi suurimmalla yhteisellä tekijällä, jonka juuri löysit. Osamäärätermeillä on pienempi kerroin kuin alkuperäisellä yhtälöllä.
-
Kerrotaan yhtälömme sen suurimmalla yhteisellä tekijällä 3. Tätä varten jaamme jokainen termi kolmella.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Uusi ilmaisumme on siis 3x2 + 9x - 1.
Vaihe 3. Kirjoita lausekkeesi suurimman yhteisen tekijän tulona kerrottuna jäljellä olevilla termeillä
Uusi lauseke ei vastaa alkuperäistä lausettasi, joten olisi väärin sanoa, että lauseketta on yksinkertaistettu. Jotta uusi ilmaisumme olisi samanlainen kuin alkuperäinen, meidän on sisällytettävä siihen tosiasia, että ilmaisumme on jaettu suurimmalla yhteisellä tekijällä. Liitä uusi lauseke sulkeisiin ja kirjoita alkuperäisen yhtälön suurin yhteinen tekijä lausekekerroimeksi suluissa.
Esimerkkiyhtälöksi 3x2 + 9x - 1, voimme sulkea lausekkeen suluissa ja kertoa sen alkuperäisen yhtälön suurimmalla yhteisellä tekijällä 3 (3x2 + 9x - 1). Tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöä, 9x2 +27x - 3.
Vaihe 4. Yksinkertaista murto -osia factoringin avulla
Saatat nyt ihmetellä, miksi factoringia käytetään, jos vaikka suurin yhteinen tekijä on poistettu, uusi lauseke on kerrottava uudelleen tällä tekijällä. Itse asiassa factoring mahdollistaa matemaatikkojen suorittaa erilaisia temppuja ilmaisujen yksinkertaistamiseksi. Yksi hänen helpoimmista tempuistaan hyödyntää sitä tosiasiaa, että murto -osan lukijan ja nimittäjän kertominen samalla luvulla voi tuottaa vastaavia murto -osia. Katso seuraavaa:
-
Sano alkuperäinen esimerkkilauseke, 9x2 + 27x - 3, on suuremman murto -osan kvantori, jossa 3 on osoittaja. Murtoluku näyttää tältä: (9x2 + 27x - 3)/3. Voimme käyttää factoringia murto -osien yksinkertaistamiseen.
- Korvataan alkuperäisen lausekkeemme factoring -muoto lukijan ilmaisulla: (3 (3x2 + 9x - 1))/3
- Huomaa, että nyt sekä osoittimella että nimittäjällä on kerroin 3. Jos jaamme lukijan ja nimittäjän 3: lla, saadaan: (3x2 + 9x - 1)/1.
- Koska mikä tahansa murtoluku, jonka nimittäjä on 1, vastaa lukijan ehtoja, voimme sanoa, että alkuosa voidaan yksinkertaistaa 3x2 + 9x - 1.
Tapa 3/3: Yksinkertaistamistaitojen lisääminen
Vaihe 1. Yksinkertaista murtoja jakamalla samat tekijät
Kuten edellä on todettu, jos yhtälön osoittimella ja nimittäjällä on samat tekijät, nämä tekijät voidaan jättää kokonaan pois murto -osasta. Joskus se vaatii tekijän huomioon ottamista osoittimessa, nimittäjässä tai molemmissa (kuten yllä olevassa esimerkkitehtävässä), mutta joskus samat tekijät ovat usein ilmeisiä. Huomaa, että yksinkertaisen lausekkeen saamiseksi on myös mahdollista jakaa osoittimen ehdot nimittäjän yhtälöllä yksi kerrallaan.
-
Työskentelemme esimerkin kanssa, joka ei vaadi tekijöitä. Murtoluvuille (5x2 + 10x + 20)/10, voimme jakaa kunkin osoittimen termin 10: llä yksinkertaistamiseksi, vaikka kerroin on 5 x 5x2 ei ole suurempi kuin 10, joten 10 ei ole tekijä.
Jos teemme, saamme ((5x2)/10) + x + 2. Halutessamme voisimme kirjoittaa ensimmäisen termin uudelleen muotoon (1/2) x2 niin saamme (1/2) x2 +x+2.
Vaihe 2. Yksinkertaista juuret käyttämällä neliötekijöitä
Juurimerkin alla olevaa lauseketta kutsutaan juurilausekkeeksi. Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa tunnistamalla neliötekijät (tekijät, jotka ovat kokonaislukujen neliöitä) ja suorittamalla neliöjuuritoiminto erikseen niiden poistamiseksi neliöjuurimerkistä.
-
Tehdään yksinkertainen esimerkki - (90). Jos ajattelemme 90: tä sen kahden tekijän, 9 ja 10 tulona, voimme ottaa neliöjuuren 9, joka on kokonaisluku 3, ja poistaa sen radikaalimerkistä. Toisin sanoen:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Vaihe 3. Lisää eksponentit, kun kerrot kaksi eksponenttia; vähennä jaettaessa
Jotkut algebralliset lausekkeet vaativat kertolaskuja tai jakotehoja. Sen sijaan, että laskisit tai jakaisit jokaisen eksponentin manuaalisesti, lisää vain eksponentit kertomalla ja vähennä jakamisen aikana säästääksesi aikaa. Tätä konseptia voidaan käyttää myös yksinkertaistamaan muuttuvia lausekkeita.
-
Käytämme esimerkiksi lauseketta 6x3 × 8x4 + (x17/x15). Joka tapauksessa, kun eksponenttien kertolasku tai jakaminen vaaditaan, vähennämme tai lisäämme eksponentit vastaavasti löytääksemme yksinkertaisen termin nopeasti. Katso seuraavaa:
- 6x3 × 8x4 + (x17/x15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 +x2
-
Alla on selitys sen toiminnasta:
- Termien kertominen eksponenteissa on itse asiassa kuin termien kertominen ei pitkissä eksponenteissa. Esimerkiksi koska x3 = x × x × x ja x 5 = x x x x x x x x x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) tai x8.
- Lähes sama, eksponenttien jakaminen on kuin jakavat termit, ei pitkät eksponentit. x5/x3 = (x x x x x x x x x)/(x x x x x x). Koska jokainen lukijan termi voidaan ylittää etsimällä sama termi nimittäjästä, lukijassa on jäljellä vain kaksi x: tä eikä alareunassa ole mitään jäljellä, jolloin vastaus x2.
Vinkkejä
- Muista aina, että sinun on kuviteltava, että nämä luvut sisältävät positiivisia ja negatiivisia merkkejä. Monet ihmiset pysähtyvät miettimään, minkä merkin minun pitäisi laittaa tänne?
- Pyydä apua, jos tarvitset sitä!
- Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistaminen ei ole helppoa, mutta kun ymmärrät sen, käytät sitä loppuelämäsi.
Varoitus
- Etsikää aina samanlaisia heimoja ja älkää antako itseänne huijata.
- Varmista, ettet lisää numeroita, valtuuksia tai toimintoja, joiden ei pitäisi tapahtua vahingossa.
