Juurimuoto on algebrallinen lauseke, jossa on neliöjuuren merkki (tai kuutiojuuri tai korkeampi). Tämä lomake voi usein edustaa kahta numeroa, joilla on sama arvo, vaikka ne voivatkin näyttää erilaisilta ensi silmäyksellä (esimerkiksi 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Siksi tarvitsemme "vakiokaavan" tällaiselle lomakkeelle. Jos vakiokaavassa on kaksi lausuntoa, jotka näyttävät erilaisilta, ne eivät ole samoja. Matemaatikot ovat yhtä mieltä siitä, että toisen asteen muodon vakiomuotoilu täyttää seuraavat vaatimukset:
- Vältä murtolukujen käyttöä
- Älä käytä murtotehoja
- Vältä juuren käyttämistä nimittäjässä
- Ei sisällä kahden juurimuodon kertolaskua
- Juuren alla olevia numeroita ei voi enää juurtua
Yksi käytännön käyttö tästä on monivalintakokeissa. Kun löydät vastauksen, mutta vastauksesi ei ole sama kuin käytettävissä olevat vaihtoehdot, yritä yksinkertaistaa se vakiokaavaksi. Koska kysymysten tekijät kirjoittavat yleensä vastaukset vakiomuotoisiin kaavoihin, tee sama vastauksillasi vastaamaan heidän vastauksiaan. Esseekysymyksissä komennot, kuten "yksinkertaista vastaustasi" tai "yksinkertaista kaikki juuret", merkitsevät sitä, että oppilaiden on suoritettava seuraavat vaiheet, kunnes he täyttävät yllä olevan standardikaavan. Tätä vaihetta voidaan käyttää myös yhtälöiden ratkaisemiseen, vaikka tietyntyyppiset yhtälöt on helpompi ratkaista epätyypillisissä kaavoissa.
Vaihe
Vaihe 1. Tarvittaessa tarkista juurien ja eksponenttien toimintaan liittyvät säännöt (molemmat ovat yhtä suuret - juuret ovat murtolukujen voimia), koska tarvitsemme niitä tässä prosessissa
Tarkista myös polynomien ja järkevien muotojen yksinkertaistamista koskevat säännöt, koska meidän on yksinkertaistettava niitä.
Menetelmä 1/6: Täydelliset neliöt
Vaihe 1. Yksinkertaista kaikki juuret, jotka sisältävät täydellisiä neliöitä
Täydellinen neliö on luvun luku itsessään, esimerkiksi 81, joka on 9 x 9: n tulo. Yksinkertaistaaksesi täydellisen neliön, poista neliöjuuri ja kirjoita luvun neliöjuuri muistiin.
- Esimerkiksi 121 on täydellinen neliö, koska 11 x 11 on 121. Voit siis yksinkertaistaa juuren (121) 11: ksi poistamalla juurimerkin.
- Tämän vaiheen helpottamiseksi sinun on muistettava 12 ensimmäistä täydellistä neliötä: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Vaihe 2. Yksinkertaista kaikki juuret, jotka sisältävät täydellisiä kuutioita
Täydellinen kuutio on tulos kertomalla luku kahdesti itsestään, esimerkiksi 27, joka on tulo 3 x 3 x 3. Yksinkertaistaaksesi täydellisen kuution juurimuodon, poista neliöjuuri ja kirjoita neliöjuuri numerosta.
Esimerkiksi 343 on täydellinen kuutio, koska se on 7 x 7 x 7: n tulo. Joten 343: n kuution juuri on 7
Tapa 2/6: Murtoluvun muuntaminen juuriksi
Tai muuttaa päinvastoin (se auttaa joskus), mutta älä sekoita niitä samaan lausuntoon kuin root (5) + 5^(3/2). Oletamme, että haluat käyttää juurimuotoa, ja käytämme symboleja root (n) neliöjuurelle ja sqrt^3 (n) kuutiojuurelle.
Vaihe 1. Ota yksi murtolukuun ja muunna se juurimuodoksi, esimerkiksi x^(a/b) = juuri x^a: n b -potenssiin
Jos neliöjuuri on murtoluvussa, muunna se normaaliksi. Esimerkiksi neliöjuuri (2/3) 4: stä = juuri (4)^3 = 2^3 = 8
Vaihe 2. Muunna negatiiviset eksponentit murto-osiksi, esimerkiksi x^-y = 1/x^y
Tämä kaava koskee vain vakio- ja järkeviä eksponentteja. Jos käsittelet muotoa 2^x, älä muuta sitä, vaikka ongelma ilmaisee, että x voi olla murto -osa tai negatiivinen luku
Vaihe 3. Yhdistä sama heimo ja yksinkertaistaa tuloksena olevaa järkevää muotoa.
Menetelmä 3/6: Fraktioiden poistaminen juurista
Vakiokaava edellyttää, että juuri on kokonaisluku.
Vaihe 1. Katso neliöjuuren alla olevaa numeroa, jos se sisältää edelleen murtoluvun
Jos vielä,…
Vaihe 2. Vaihda kahdesta juurista koostuvaan murto -osaan käyttäen identiteettijuuria (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Älä käytä tätä identiteettiä, jos nimittäjä on negatiivinen tai jos se on muuttuja, joka voi olla negatiivinen. Tässä tapauksessa yksinkertaista ensin murto -osa
Vaihe 3. Yksinkertaista tuloksen jokainen täydellinen neliö
Toisin sanoen muunna neliömetri (5/4) neliömetriksi (5)/neliömetri (4) ja yksinkertaista sitten neliömetriksi (5)/2.
Vaihe 4. Käytä muita yksinkertaistusmenetelmiä, kuten monimutkaisten murto -osien yksinkertaistamista, yhtäläisten ehtojen yhdistämistä jne
Menetelmä 4/6: Kertojuurten yhdistäminen
Vaihe 1. Jos kerrot yhden juurimuodon toisella, yhdistä ne yhteen neliöjuureksi käyttämällä kaavaa:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Vaihda esimerkiksi juuri (2)*juuri (6) juuriksi (12).
- Yllä oleva identiteetti sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) on voimassa, jos sqrt -merkin alla oleva luku ei ole negatiivinen. Älä käytä tätä kaavaa, kun a ja b ovat negatiivisia, koska teet virheen tehdessäsi sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Vasemmalla oleva lauseke on -1 (tai määrittelemätön, jos et käytä kompleksilukuja), kun taas oikealla oleva lauseke on +1. Jos a ja/tai b ovat negatiivisia, "muuta" ensin merkki kuten sqrt (-5) = i*sqrt (5). Jos juurimerkin alla oleva lomake on muuttuja, jonka merkki ei tunnu kontekstista tai voi olla positiivinen tai negatiivinen, jätä se sellaiseksi kuin se on toistaiseksi. Voit käyttää yleisempää identiteettiä, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), joka koskee kaikkia reaalilukuja a ja b, mutta yleensä tämä kaava ei auta paljon, koska se lisää monimutkaisuutta sgn (signum) -funktion käyttöön.
- Tämä identiteetti on voimassa vain, jos juurien muodoissa on sama eksponentti. Voit kertoa erilaisia neliöjuuria, kuten sqrt (5)*sqrt^3 (7), muuntamalla ne samaksi neliöjuureksi. Voit tehdä tämän muuttamalla neliöjuuren väliaikaisesti murtoluvuksi: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Käytä sitten kertosääntöä kertoaksesi nämä kaksi neliöjuureksi 6125.
Tapa 5/6: Neliökerroimen poistaminen juurista
Vaihe 1. Epätäydellisten juurien jakaminen alkutekijöiksi
Kerroin on luku, joka kerrottuna toisella numerolla muodostaa luvun - esimerkiksi 5 ja 4 ovat kaksi tekijää 20. Jos haluat katkaista epätäydelliset juuret, kirjoita kaikki luvun tekijät (tai niin monta kuin mahdollista, jos numero on liian suuri), kunnes olet löytänyt täydellisen neliön.
Yritä esimerkiksi löytää kaikki tekijät 45: 1, 3, 5, 9, 15 ja 45. 9 on kerroin 45 ja on myös täydellinen neliö (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Vaihe 2. Poista neliöjuurista kaikki kertoimet, jotka ovat täydellisiä neliöitä
9 on täydellinen neliö, koska se on 3 x 3: n tulos. Ota 9 neliöjuurista ja korvaa se 3: lla neliöjuuren edessä ja jätä 5 neliöjuuren sisään. Jos "laitat" 3 takaisin neliöjuureen, kerro itsestäsi saadaksesi 9, ja jos kerrot 5: llä, se antaa 45. 3 juurta viidestä on yksinkertainen tapa ilmaista juuri 45.
Eli neliö (45) = neliö (9*5) = neliö (9)*neliö (5) = 3*neliömetriä (5)
Vaihe 3. Etsi täydellinen neliö muuttujasta
Neliön neliöjuuri on | a |. Voit yksinkertaistaa tämän vain "a": ksi, jos tunnettu muuttuja on positiivinen. A: n neliöjuuri potenssiin 3, kun se jaetaan neliöjuureksi neliökertaksi a - muista, että eksponentit lasketaan yhteen, kun kerromme kaksi numeroa a: n potenssiin, joten neliö kertaa a on yhtä suuri kuin a kolmas voima.
Siksi täydellinen neliö kuution muodossa on neliö
Vaihe 4. Poista täydellisen neliön sisältävä muuttuja neliöjuurista
Ota nyt neliö neliöjuurista ja muuta se | a |. Juuren yksinkertainen muoto potenssiin 3 on | a | juuri a.
Vaihe 5. Yhdistä yhtäläiset ehdot ja yksinkertaista kaikki laskentatulosten juuret
Menetelmä 6/6: Nimittäjän järkeistäminen
Vaihe 1. Vakiokaava edellyttää, että nimittäjä on kokonaisluku (tai polynomi, jos se sisältää muuttujan) mahdollisimman paljon
-
Jos nimittäjä koostuu yhdestä päämerkin alla olevasta termistä, kuten […]/juuri (5), kerro sitten sekä lukija että nimittäjä tällä juurilla, jotta saat […]*neliömetriä (5)/neliömetriä (5)*neliömetriä (5) = […]*juuri (5)/5.
Jos kuutiojuuret tai korkeammat, kerro kerralla sopivalla juurilla, jotta nimittäjä olisi järkevä. Jos nimittäjä on juuri^3 (5), kerro lukija ja nimittäjä luvulla sqrt^3 (5)^2
-
Jos nimittäjä koostuu kahden neliöjuuren, kuten sqrt (2) + sqrt (6), lisäämisestä tai vähentämisestä, kerro kvantti ja nimittäjä niiden konjugaatilla, joka on sama muoto, mutta vastakkaisella merkillä. Sitten […]/(juuri (2) + juuri (6)) = […] (juuri (2) -juuri (6))/(juuri (2) + juuri (6)) (juuri (2) -juuri (6)). Käytä sitten identiteettikaavaa kahden neliön erotukselle [(a + b) (ab) = a^2-b^2] nimittäjän järkeistämiseksi, yksinkertaistamiseksi (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Tämä koskee myös nimittäjiä, kuten 5 + sqrt (3), koska kaikki kokonaisluvut ovat muiden kokonaislukujen juuria. [1/(5 + neliömetriä (3)) = (5 neliömetriä (3))/(5 + neliömetriä (3)) (5 neliömetriä (3)) = (5 neliömetriä (3))/(5^ 2 neliömetriä (3)^2) = (5 neliömetriä (3))/(25-3) = (5 neliömetriä (3))/22]
- Tämä menetelmä koskee myös juurien, kuten sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7), lisäämistä. Jos ryhmität ne ryhmään (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) ja kerrotaan (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), vastaus ei ole järkevässä muodossa, mutta vielä+b*-juurissa (30), missä a ja b ovat jo rationaalilukuja. Toista sitten prosessi konjugaateilla a+b*sqrt (30) ja (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) ovat järkeviä. Pohjimmiltaan, jos voit käyttää tätä temppua yhden juurimerkin poistamiseksi nimittäjästä, voit toistaa sen monta kertaa poistaaksesi kaikki juuret.
- Tätä menetelmää voidaan käyttää myös nimittäjille, jotka sisältävät ylemmän juuren, kuten neljännen juuren tai 3: n seitsemännen juuren. Kerro osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla. Valitettavasti emme voi suoraan saada nimittäjän konjugaattia, ja se on vaikeaa tehdä. Voimme löytää vastauksen numeroteorian algebran kirjasta, mutta en mene siihen.
Vaihe 2. Nyt nimittäjä on järkevässä muodossa, mutta osoittaja näyttää sekaisin
Nyt sinun tarvitsee vain kertoa se nimittäjän konjugaatilla. Mene eteenpäin ja kerro niin kuin moninkertaistamme polynomit. Tarkista, voidaanko termit jättää pois, yksinkertaistaa tai yhdistää, jos mahdollista.
Vaihe 3. Jos nimittäjä on negatiivinen kokonaisluku, kertokaa sekä osoittaja että nimittäjä -1: llä positiiviseksi
Vinkkejä
- Voit etsiä verkosta sivustoja, jotka voivat yksinkertaistaa juurilomakkeita. Kirjoita vain yhtälö juurimerkillä, ja Enter -näppäimen painamisen jälkeen vastaus tulee näkyviin.
- Yksinkertaisempiin kysymyksiin et ehkä käytä kaikkia tämän artikkelin vaiheita. Monimutkaisemmissa kysymyksissä saatat joutua käyttämään useita vaiheita useammin kuin kerran. Käytä "yksinkertaisia" vaiheita muutaman kerran ja tarkista, vastaako vastauksesi vakiomuotoilukriteerejä, joista keskustelimme aiemmin. Jos vastauksesi on vakiokaavassa, olet valmis; mutta jos ei, voit tarkistaa sen jollakin yllä olevista vaiheista.
- Useimmat viittaukset "suositeltavaan standardikaavaan" juuren muodossa koskevat myös kompleksilukuja (i = juuri (-1)). Vaikka käskyssä olisi "i" juurin sijasta, vältä nimittäjiä, jotka sisältävät edelleen i: n mahdollisimman paljon.
- Joissakin tämän artikkelin ohjeissa oletetaan, että kaikki juuret ovat neliöitä. Samat yleiset periaatteet koskevat korkeampien voimien juuria, vaikka joidenkin osien (etenkin nimittäjän järkeistäminen) kanssa voi olla melko vaikea työskennellä. Päätä itse, minkä muodon haluat, kuten neliö^3 (4) tai neliö^3 (2)^2. (En muista, mitä muotoa yleensä ehdotetaan oppikirjoissa).
- Joissakin tämän artikkelin ohjeissa käytetään sanaa "vakiomuoto" kuvaamaan "tavallinen muoto". Ero on siinä, että vakiokaava hyväksyy vain muodon 1+sqrt (2) tai sqrt (2) +1 ja pitää muita lomakkeita epästandardina; Tavallinen muoto olettaa, että sinä, lukija, olet tarpeeksi älykäs nähdäksesi näiden kahden numeron "samankaltaisuuden", vaikka ne eivät ole kirjallisesti identtisiä ('sama' tarkoittaa niiden aritmeettista ominaisuutta (kommutoiva lisäys), ei niiden algebrallista ominaisuutta (root (2) on x ei-negatiivinen juuri^^2-2)). Toivomme, että lukijat ymmärtävät pienen huolimattomuuden tämän terminologian käytössä.
- Jos jokin vihjeistä vaikuttaa epäselviltä tai ristiriitaisilta, tee kaikki yksiselitteiset ja johdonmukaiset vaiheet ja valitse sitten haluamasi muoto.
