3 tapaa ratkaista kuutioyhtälöitä

2024 Kirjoittaja: Jason Gerald | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-16 19:26

Kun löydät ensimmäisen kerran kuutioyhtälön (joka on muotoa ax) ³ + bx ² + cx + d = 0), ehkä luulet, että ongelma on vaikea ratkaista. Mutta tiedä, että kuutioyhtälöiden ratkaiseminen on ollut olemassa jo vuosisatojen ajan! Tämä ratkaisu, jonka italialaiset matemaatikot Niccolò Tartaglia ja Gerolamo Cardano löysivät 1500 -luvulla, on yksi ensimmäisistä muinaisessa Kreikassa ja Roomassa tunnetuista kaavoista. Kuutioyhtälöiden ratkaiseminen voi olla hieman vaikeaa, mutta oikealla lähestymistavalla (ja riittävällä tietämyksellä) jopa vaikeimmat kuutioyhtälöt voidaan ratkaista.

Vaihe

Menetelmä 1/3: Ratkaiseminen toisen asteen yhtälöiden avulla

Vaihe 1. Tarkista, onko kuutioyhtälölläsi vakio

Kuten edellä todettiin, kuutiomainen yhtälö on ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c ja d: n arvo voi olla 0 vaikuttamatta tämän kuutioyhtälön muotoon; tämä tarkoittaa pohjimmiltaan sitä, että kuutiollisen yhtälön ei tarvitse aina sisältää arvon bx ², cx tai d olla kuutiomainen yhtälö. Aloittaaksesi tämän melko helpon tavan ratkaista kuutioyhtälöitä, tarkista, onko kuutiollisella yhtälölläsi vakio (tai arvo d). Jos yhtälölläsi ei ole vakio tai arvo d: lle, voit käyttää toisen asteen yhtälöä löytääksesi vastauksen kuutioyhtälöön muutaman vaiheen jälkeen.

Toisaalta, jos yhtälölläsi on vakioarvo, tarvitset toisen ratkaisun. Katso muut vaiheet alla olevista vaiheista

Vaihe 2. Kerro kuutioyhtälön x -arvo

Koska yhtälölläsi ei ole vakioarvoa, sen kaikkien komponenttien muuttuja on x. Tämä tarkoittaa, että tämä x: n arvo voidaan ottaa huomioon yhtälöstä sen yksinkertaistamiseksi. Tee tämä vaihe ja kirjoita kuutioyhtälosi uudelleen muotoon x (ax ² + bx + c).

Oletetaan esimerkiksi, että alkuperäinen kuutiomainen yhtälö on 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Tekemällä yksi muuttuja x tästä yhtälöstä saadaan yhtälö x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Vaihe 3. Ratkaise suluissa olevat yhtälöt toisen asteen yhtälöillä

Saatat huomata, että jotkut uudet yhtälöt, jotka on suluissa, ovat toisen asteen yhtälön muodossa (ax ² + bx + c). Tämä tarkoittaa, että voimme löytää arvon, joka tarvitaan tämän yhtälön tekemiseksi nollaksi, liittämällä a, b ja c toisen asteen yhtälökaavaan ({- b +/- √ (b ²- 4 ak)}/2 a). Suorita nämä laskelmat löytääksesi kaksi vastausta kuutioyhtälöllesi.

• Esimerkissämme liitä a, b ja c (3, -2 ja 14) arvot toisen asteen yhtälöön seuraavasti:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ak)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Vastaus 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Vastaus 2:

  {2 - 12,8 i}/6

Vaihe 4. Käytä nollaa ja vastaustasi toisen asteen yhtälöösi vastauksena kuutiolliselle yhtälöllesi

Toisen asteen yhtälöillä on kaksi vastausta, kun taas kuutiollisilla yhtälöillä on kolme vastausta. Tiedät jo kaksi vastausta kolmesta; jonka saat yhtälön "neliö" -osiosta suluissa. Jos kuutioyhtälönne voidaan ratkaista tällä "tekijällä", kolmas vastauksenne on melkein aina 0. Turvallinen! Olet juuri ratkaissut kuutioyhtälön.

Syy, joka saa tämän menetelmän toimimaan, on perustavanlaatuinen tosiasia, että "mikä tahansa luku kerrottuna nollalla on nolla". Kun lasket yhtälön muotoon x (ax ² + bx + c) = 0, jaat sen periaatteessa vain kahteen "osaan"; toinen osa on x -muuttuja vasemmalla puolella ja toinen osa hakasulkeissa. Jos toinen näistä osista on nolla, koko yhtälö on myös nolla. Siten kaksi vastausta suluissa olevaan toisen asteen yhtälöön, jotka tekisivät sen nollaksi, ovat kuutiollisen yhtälön vastaukset sekä itse 0 - mikä tekisi vasemmanpuoleisen osan myös nollaksi.

Tapa 2/3: Kokonaislukuvastausten löytäminen tekijäluettelon avulla

Vaihe 1. Varmista, että kuutioyhtälölläsi on vakioarvo

Vaikka edellä kuvatut menetelmät ovat melko helppokäyttöisiä, koska sinun ei tarvitse oppia uutta laskentatekniikkaa niiden käyttämiseksi, ne eivät aina auta sinua ratkaisemaan kuutiollisia yhtälöitä. Jos kuutioyhtälönne on muotoa ax ³ + bx ² + cx + d = 0, jossa d: n arvo ei ole nolla, yllä oleva "factorization" -menetelmä ei toimi, joten sinun on käytettävä jotakin tämän osion menetelmistä tämän ratkaisemiseksi.

Oletetaan esimerkiksi, että meillä on yhtälö 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Tässä tapauksessa, jotta saadaan nolla yhtälön oikealle puolelle, meidän on lisättävä 6 molemmille puolille. Sen jälkeen saamme uuden yhtälön 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, jonka arvo on d = 6, joten emme voi käyttää "factorization" -menetelmää kuten edellisessä menetelmässä.

Vaihe 2. Etsi tekijät a ja d

Ratkaise kuutioyhtälösi aluksi etsimällä kerroin a (kerroin x ³) ja d (vakioarvo yhtälön lopussa). Muista, että tekijät ovat numeroita, jotka voidaan kertoa toisiinsa tietyn luvun tuottamiseksi. Esimerkiksi, koska voit saada 6 kertomalla 6 × 1 ja 2 × 3, 1, 2, 3 ja 6 ovat kertoimia 6.

• Käyttämämme esimerkkitehtävän a = 2 ja d = 6. Kerroin 2 on 1 ja 2. Vaikka kerroin 6 on 1, 2, 3 ja 6.

  

  Vaihe 3. Jaa tekijä a kertoimella d

  Seuraavaksi luettele arvot, jotka saat jakamalla jokaisen a -kerroimen jokaisella d -kertoimella. Tämä laskelma johtaa yleensä moniin murto -arvoihin ja useisiin kokonaislukuihin. Kokonaislukuarvo kuutioyhtälön ratkaisemiseksi on yksi laskutoimituksista saatu kokonaisluku.

  Jaa yhtälössämme tekijän arvo a (1, 2) kertoimella d (1, 2, 3, 6) ja saat seuraavat tulokset: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 ja 2/3. Lisää seuraavaksi negatiiviset arvot luetteloon ja saamme: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 ja -2/3. Vastaus kuutioyhtälöön - joka on kokonaisluku - on luettelossa.

  

  Vaihe 4. Tarkista vastauksesi manuaalisesti synteettisellä jaolla

  Kun sinulla on luettelo yllä olevan kaltaisista arvoista, voit etsiä kokonaislukuarvot, jotka ovat vastauksia kuutiollisiin yhtälöihisi kirjoittamalla jokainen kokonaisluku manuaalisesti, ja löytää mikä arvo palauttaa nollan. Jos et kuitenkaan halua käyttää aikaa tähän, on olemassa tapa tehdä se nopeammin, nimittäin synteettisen jaon laskennalla. Pohjimmiltaan jaat kokonaislukusi arvon kuutiollisen yhtälön alkuperäisillä kertoimilla a, b, c ja d. Jos loppuosa on nolla, tämä arvo on yksi kuutiollisen yhtälön vastauksista.

  • Synteettinen jako on monimutkainen aihe - katso lisätietoja alla olevasta linkistä. Tässä on esimerkki siitä, miten voit löytää yhden vastauksen kuutiollisiin yhtälöihisi synteettisellä jaolla:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Koska saamme lopputuloksen yhtä suureksi kuin 0, tiedämme, että yksi kuutiollisen yhtälön kokonaislukuvastauksista on - 1.

  Menetelmä 3/3: Käytä syrjivää lähestymistapaa

  

  Vaihe 1. Kirjoita yhtälöt a, b, c ja d muistiin

  Löytääksemme vastauksen kuutioyhtälölle tällä tavalla, teemme paljon laskelmia yhtälömme kertoimilla. Tämän vuoksi on hyvä merkitä muistiin a, b, c ja d arvot, ennen kuin unohdat arvot.

  Esimerkiksi yhtälölle x ³ - 3 x ² + 3 x -1, kirjoita se a = 1, b = -3, c = 3 ja d = -1. Älä unohda, että kun muuttujalla x ei ole kerrointa, sen arvo on 1.

  

  Vaihe 2. Laske 0 = b ² - 3 ilmastointilaitetta.

  Diskriminanttinen lähestymistapa kuutioyhtälöiden vastausten löytämiseen vaatii monimutkaisia laskelmia, mutta jos seuraat vaiheita huolellisesti, se voi olla erittäin hyödyllinen kuutioyhtälöiden ratkaisemisessa, joita on vaikea ratkaista muilla tavoilla. Etsi aluksi arvo 0, joka on ensimmäinen merkittävä arvo useista tarvitsemistamme, liittämällä sopiva arvo kaavaan b ² - 3 ilmastointilaitetta.

  • Käyttämässämme esimerkissä ratkaisemme sen seuraavasti:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Vaihe 3. Laske 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Seuraava tarvitsemamme merkittävä arvo, 1, vaatii pidemmän laskennan, mutta se voidaan löytää samalla tavalla kuin 0. Liitä sopiva arvo kaavaan 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d saadaksesi arvon 1.

  • Tässä esimerkissä ratkaisemme sen seuraavasti:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Vaihe 4. Laske = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Seuraavaksi laskemme arvojen 0 ja 1 "erottava" arvo. Erottelija on luku, joka antaa sinulle tietoa polynomin juurista (olet saattanut alitajuisesti muistaa toisen asteen erottelukaavan: b ² - 4 ilmastointilaitetta). Kuutiollisen yhtälön tapauksessa, jos erottimen arvo on positiivinen, yhtälössä on kolme reaaliluvuvastausta. Jos erottava arvo on nolla, yhtälössä on yksi tai kaksi reaalilukuvastausta ja joillakin vastauksista sama arvo. Jos arvo on negatiivinen, yhtälöllä on vain yksi reaaliluvuvastaus, koska yhtälön kuvaaja leikkaa aina x-akselin vähintään kerran.)

  • Tässä esimerkissä, koska sekä 0 että 1 = 0, arvon löytäminen on erittäin helppoa. Meidän on vain laskettava se seuraavalla tavalla:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, joten yhtälöllämme on 1 tai 2 vastausta.

  

  Vaihe 5. Laske C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Viimeinen meille tärkeä arvo on C: n arvo. Tämän arvon avulla voimme saada kaikki kuutiollisen yhtälön kolme juuria. Ratkaise tavalliseen tapaan yhdistämällä arvot 1 ja 0 kaavaan.

  • Tässä esimerkissä saamme C: n arvon seuraavasti:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Vaihe 6. Laske yhtälön kolme juurta muuttujasi avulla

  Kuutioyhtälön juuri (vastaus) määritetään kaavalla (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, jossa u = (-1 + (-3))/2 ja n on 1, 2 tai 3. Liitä arvot kaavaan niiden ratkaisemiseksi-sinun on ehkä tehtävä useita laskelmia, mutta sinun pitäisi saada kaikki kuutioyhtälön vastaukset!

  • Tässä esimerkissä voimme ratkaista sen tarkistamalla vastaukset, kun n on 1, 2 ja 3. Tästä laskelmasta saamamme vastaus on mahdollinen vastaus kuutioyhtälöömme - mikä tahansa arvo, jonka liitämme kuutioyhtälöön ja se antaa sama tulos. 0, on oikea vastaus. Jos saamme esimerkiksi laskutoimituksessamme vastauksen 1, yhdistämme arvon 1 yhtälöön x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 antaa lopputuloksen 0

    Vaihe 1. on yksi vastauksistamme kuutiollisiin yhtälöihimme.