Neliökaavion piirtäminen: 10 vaihetta (kuvilla)

2024 Kirjoittaja: Jason Gerald | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-02-01 14:13

Graafisesti kuvattuna toisen asteen yhtälö on muotoa kirves² + bx + c tai a (x - h)² + k muodosta U -kirjain tai käänteinen U -käyrä, jota kutsutaan paraabeliksi. Toisen asteen yhtälön piirtäminen etsii kärkeä, suuntaa ja usein x- ja y -leikkauspistettä. Melko yksinkertaisten toisen asteen yhtälöiden tapauksessa x -arvojen kirjoittaminen ja käyrän piirtäminen tuloksena olevien pisteiden perusteella voi riittää. Katso vaihe 1 alta.

Vaihe

Vaihe 1. Määritä toisen asteen yhtälön muoto

Toisen asteen yhtälöt voidaan kirjoittaa kolmessa eri muodossa: yleinen muoto, kärkimuoto ja toisen asteen muoto. Voit käyttää mitä tahansa muotoa toisen asteen yhtälön piirtämiseen; jokaisen kaavion esittämisprosessi on hieman erilainen. Jos teet läksyjä, saat yleensä kysymyksiä yhdessä näistä kahdesta muodosta - toisin sanoen et voi valita, joten on parasta ymmärtää molemmat. Toisen asteen yhtälön kaksi muotoa ovat:

• Yleinen muoto.

  Tässä muodossa toisen asteen yhtälö kirjoitetaan seuraavasti: f (x) = ax² + bx + c jossa a, b ja c ovat reaalilukuja ja a ei ole nolla.

  Esimerkiksi kaksi yleismuotoista toisen asteen yhtälöä ovat f (x) = x² + 2x + 1 ja f (x) = 9x² + 10x -8.

• Huippu muoto.

  Tässä muodossa toisen asteen yhtälö kirjoitetaan seuraavasti: f (x) = a (x - h)² + k jossa a, h ja k ovat reaalilukuja ja a ei ole nolla. Sitä kutsutaan kärkimuodoksi, koska h ja k antavat välittömästi paraboolisi kärjen (keskipisteen) kohdassa (h, k).

  Kaksi kärkipisteyhtälöä ovat f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ja -3 (x - 5)² + 1

• Jos haluat piirtää minkä tahansa tyyppisen yhtälön, meidän on ensin löydettävä paraabelin kärki, joka on käyrän lopussa oleva keskipiste (h, k). Yleisen muodon piikkien koordinaatit lasketaan seuraavasti: h = -b/2a ja k = f (h), kun taas huippumuodossa h ja k ovat yhtälössä.

Vaihe 2. Määritä muuttujasi

Neliötehtävän ratkaisemiseksi muuttujat a, b ja c (tai a, h ja k) on yleensä määriteltävä. Tavallinen algebran tehtävä antaa toisen asteen yhtälön käytettävissä olevien muuttujien kanssa, yleensä yleisessä muodossa, mutta joskus huippumuotona.

• Esimerkiksi yhtälölle, joka on yleismuoto f (x) = 2x² + 16x + 39, meillä on a = 2, b = 16 ja c = 39.
• Huippumuotoon yhtälö f (x) = 4 (x - 5)² + 12, meillä on a = 4, h = 5 ja k = 12.

Vaihe 3. Laske h

Vertex -muotoyhtälössä h -arvo on jo annettu, mutta yleisessä muotoyhtälössä h -arvo on laskettava. Muista, että yleisen muodon yhtälöille h = -b/2a.

• Yleisessä muodossa esimerkissä (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Ratkaisun jälkeen havaitsemme, että h = - 4.
• Vertex -lomakkeen esimerkissä (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tiedämme, että h = 5 tekemättä mitään laskutoimitusta.

Vaihe 4. Laske k

Kuten h, k tunnetaan jo piikin muodon yhtälössä. Muista yleisen muodon yhtälöille, että k = f (h). Toisin sanoen voit löytää k korvaamalla kaikki yhtälön x -arvot juuri löytämiisi h -arvoihin.

• Olemme jo määrittäneet yleisessä esimerkissämme, että h = -4. K: n löytämiseksi ratkaisemme yhtälömme liittämällä h: n arvon x: n tilalle:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32-64 + 39 =

    Vaihe 7.

• Huippumuotoesimerkissämme taas tiedämme k: n arvon (joka on 12) ilman, että joudumme laskemaan.

Vaihe 5. Piirrä huippusi

Parabolisi kärki on piste (h, k)-h edustaa x-koordinaattia, kun taas k edustaa y-koordinaattia. Kärki on paraabelisi keskipiste - joko U: n alareunassa tai käänteisen U: n yläosassa. Pisteiden tunteminen on tärkeä osa tarkan paraabelin piirtämistä - usein koulutehtävissä kärkipisteen määrittäminen on kysymys, jota etsitään.

• Yleisessä esimerkissä huippumme on (-4, 7). Siten parabolamme huipentuu 4 askelta vasemmalle 0 ja 7 askeleen yläpuolella (0, 0). Meidän on kuvattava tämä piste kaaviossa ja merkittävä koordinaatit.
• Vertex -lomakkeen esimerkissä kärkimme on (5, 12). Meidän on piirrettävä piste 5 askelta oikealle ja 12 askelta edellä (0, 0).

Vaihe 6. Piirrä paraabelin akseli (valinnainen)

Paraabelin symmetria -akseli on linja, joka kulkee sen keskipisteen läpi ja jakaa sen tarkalleen keskelle. Tällä akselilla paraabelin vasen puoli heijastaa oikeaa puolta. Toisen asteen yhtälöille muodossa ax² + bx + c tai a (x - h)² + k, symmetria-akseli on suora, joka on yhdensuuntainen y-akselin kanssa (toisin sanoen täsmälleen pystysuora) ja kulkee kärkipisteen läpi.

Yleisesimerkkimme tapauksessa akseli on y-akselin kanssa yhdensuuntainen ja pisteen (-4, 7) läpi kulkeva suora. Vaikka se ei ole osa paraabelia, tämän viivan ohuen merkitseminen kaavioon auttaa lopulta näkemään paraabelin käyrän symmetrisen muodon

Vaihe 7. Etsi paraabelin aukon suunta

Kun olemme tunteneet paraabelin huipun ja akselin, seuraavaksi meidän on tiedettävä, aukeako parabola ylös vai alas. Onneksi tämä on helppoa. Jos a: n arvo on positiivinen, paraabeli avautuu ylöspäin, kun taas jos a: n arvo on negatiivinen, parabooli avautuu alaspäin (eli parabola käännetään).

• Yleisesimerkissämme (f (x) = 2x² + 16x + 39), tiedämme, että meillä on parabooli, joka avautuu, koska yhtälössämme a = 2 (positiivinen).
• Vertex -lomakkeen esimerkissä (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tiedämme, että meillä on myös parabooli, joka avautuu, koska a = 4 (positiivinen).

Vaihe 8. Etsi ja piirrä tarvittaessa x-leikkauspiste

Usein koulutehtävissä sinua pyydetään löytämään x-leikkauspiste paraabelista (joka on yksi tai kaksi pistettä, jossa parabooli kohtaa x-akselin). Vaikka et löytäisikään, nämä kaksi kohtaa ovat erittäin tärkeitä tarkan paraabelin piirtämisessä. Kaikilla parabooilla ei kuitenkaan ole x-leikkausta. Jos paraboolillasi on kärki, joka avautuu ja sen kärki on x-akselin yläpuolella tai jos se avautuu alaspäin ja sen kärki on x-akselin alapuolella, paraabelilla ei ole x-leikkausta. Muussa tapauksessa ratkaise x-sieppaus jollakin seuraavista tavoista:

• Tee vain f (x) = 0 ja ratkaise yhtälö. Tätä menetelmää voidaan käyttää yksinkertaisiin toisen asteen yhtälöihin, erityisesti huippumuotoon, mutta se on erittäin vaikeaa monimutkaisille yhtälöille. Katso esimerkki alla

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Juuri (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ja 13 on paraabelin x-leikkaus.

• Kerro yhtälösi. Jotkut yhtälöt kirveen muodossa² + bx + c voidaan helposti laskea muotoon (dx + e) (fx + g), jossa dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx ja e × g = c. Tässä tapauksessa x-leikkauksesi ovat x-arvoja, jotka tekevät suluissa minkä tahansa termin = 0. Esimerkiksi:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Tässä tapauksessa ainoa x -leikkauksesi on -1, koska jos x: n arvoksi tulee -1, kaikki sulkeissa olevat tekijätermit ovat 0.

• Käytä toisen asteen kaavaa. Jos et voi helposti ratkaista x-leikkauspistettäsi tai kerroin yhtälöäsi, käytä tätä tarkoitusta varten luotua erityistä yhtälöä, jota kutsutaan neliökaavaksi. Jos sitä ei ole vielä ratkaistu, muunna yhtälösi muotoon ax² + bx + c, kirjoita sitten a, b ja c kaavaan x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Huomaa, että tämä menetelmä antaa sinulle usein kaksi vastausta x: n arvoon, mikä on OK-se tarkoittaa vain, että paraboolissasi on kaksi x-leikkausta. Katso alla esimerkki:

  • -5x² + 1x + 10 lasketaan toisen asteen kaavaan seuraavasti:
  • x = (-1 +/- Juuri (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- juuri (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- juuri (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) ja (-15, 18/-10). Paraabelin x-leikkaus on x = - 1, 318 ja 1, 518
  • Edellinen esimerkki yleisestä muodosta, 2x² +16x+39 lasketaan toisen asteen kaavaan seuraavasti:
  • x = (-16 +/- Juuri (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Root (256-312))/4
  • x = (-16 +/- Juuri (-56)/-10
  • Koska negatiivisen luvun neliöjuuria on mahdotonta löytää, tiedämme, että tämä paraabeli ei ole x-sieppausta.

Vaihe 9. Etsi ja piirrä tarvittaessa y-leikkaus

Vaikka y-leikkausta ei useinkaan tarvitse etsiä yhtälöistä (kohta, jossa parabooli kulkee y-akselin läpi), sinun on ehkä lopulta löydettävä se, varsinkin jos olet koulussa. Prosessi on melko yksinkertainen-tee vain x = 0 ja ratkaise yhtälösi f (x): lle tai y: lle, joka antaa y: n arvon, jossa paraboolisi kulkee y-akselin läpi. Toisin kuin x-leikkaus, tavallisella paraabelilla voi olla vain yksi y-leikkaus. Huomaa-yleismuotoisille yhtälöille y-leikkauskohta on y = c.

• Tiedämme esimerkiksi, että toisen asteen yhtälömme on 2x² + 16x + 39: llä on y-leikkaus kohdassa y = 39, mutta se löytyy myös seuraavalla tavalla:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Paraabelin y-leikkaus on kohdassa y = 39.

    Kuten edellä todettiin, y-leikkauskohta on y = c.

• Pisteyhtälömme muoto on 4 (x - 5)² + 12 sisältää y-leikkauksen, joka löytyy seuraavalla tavalla:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Paraabelin y-leikkaus on kohdassa y = 112.

Vaihe 10. Piirrä tarvittaessa lisäpisteitä ja piirrä sitten kaavio

Nyt sinulla on yhtälösi kärki, suunta, x-leikkaus ja mahdollisesti y-leikkaus. Tässä vaiheessa voit yrittää piirtää paraabelisi käyttämällä oppaassasi olevia pisteitä tai etsiä muita pisteitä täyttääksesi paraabelisi, jotta piirtämäsi käyrä olisi tarkempi. Helpoin tapa tehdä tämä on yksinkertaisesti syöttää joitain x-arvoja mille tahansa pisteesi puolelle ja piirtää nämä pisteet käyttämällä saamiasi y-arvoja. Usein opettajat pyytävät sinua etsimään useita kohtia ennen paraabelin piirtämistä.

• Tarkastellaan yhtälöä x² + 2x + 1. Tiedämme jo, että x -leikkaus on vain kohdassa x = -1. Koska käyrä koskettaa vain x-leikkauspistettä yhdessä kohdassa, voimme päätellä, että kärki on sen x-leikkaus, mikä tarkoittaa, että kärki on (-1, 0). Meillä on käytännössä vain yksi piste tästä paraabelista - se ei riitä hyvän paraabelin piirtämiseen. Etsitään muita kohtia varmistaaksemme, että piirrämme perusteellisen kaavion.

  • Etsitään seuraavien x -arvojen y -arvot: 0, 1, -2 ja -3.
  • 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Pointtimme on (0, 1).

  • 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Meidän pointtimme on (1, 4).

  • -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Pointtimme on (-2, 1).

  • -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Pointtimme on (-3, 4).

  • Piirrä nämä pisteet kaavioon ja piirrä U-muotoinen käyräsi. Huomaa, että paraabeli on täysin symmetrinen - kun parabolisi toisella puolella olevat pisteet ovat kokonaislukuja, voit yleensä vähentää työtä vain heijastamalla tiettyä pistettä paraabelin symmetria -akselilla löytääksesi saman pisteen paraabelin toiselta puolelta.

Vinkkejä

• Pyöristä numeroita tai käytä murto -osia algebran opettajasi pyynnöstä. Tämä auttaa sinua kuvaamaan paremmin toisen asteen yhtälön.
• Huomaa, että f (x) = akseli² + bx + c, jos b tai c on nolla, nämä numerot häviävät. Esimerkiksi 12x² + 0x + 6 muuttuu 12x² + 6, koska 0x on 0.