Nopeus määritellään kohteen nopeudeksi tiettyyn suuntaan. Useissa tilanteissa nopeuden löytämiseksi voimme käyttää yhtälöä v = s/t, jossa v on nopeus, s on kokonaismatka, jonka kohde on siirtynyt alkuperäisestä sijainnistaan, ja t on aika. Tämä menetelmä antaa kuitenkin vain kohteen "keskimääräisen" nopeusarvon sen siirtymän aikana. Laskelman avulla voit laskea kohteen nopeuden missä tahansa sen siirtymän pisteessä. Tätä arvoa kutsutaan "hetkelliseksi nopeudeksi" ja se voidaan laskea yhtälöllä v = (ds)/(dt), tai toisin sanoen on johdannainen yhtälöstä kohteen keskimääräiselle nopeudelle.
Vaihe
Menetelmä 1: 3: Hetkellisen nopeuden laskeminen
Vaihe 1. Aloita objektin siirtymän nopeuden yhtälö
Saadaksemme kohteen hetkellisen nopeuden arvon, meillä on ensin oltava yhtälö, joka kuvaa sen sijaintia (siirtymän suhteen) tiettynä ajankohtana. Tämä tarkoittaa, että yhtälössä on oltava muuttuja s (joka seisoo yksin) toisella puolella, ja t toisaalta (mutta ei välttämättä itsenäisesti), kuten tämä:
s = -1,5t2+10 t+4
-
Yhtälössä muuttujat ovat:
-
- Siirtymä = s. Tämä on kohteen matka sen lähtöpisteestä. Jos kohde esimerkiksi kulkee 10 metriä eteenpäin ja 7 metriä taaksepäin, kokonaismatka on 10 - 7 = 3 metriä (ei 10 + 7 = 17 metriä).
-
Aika = t. Tämä muuttuja on itsestään selvä. Yleensä ilmaistaan sekunneissa. # Ota yhtälön derivaatta. Yhtälön derivaatta on toinen yhtälö, joka voi antaa jyrkkyysarvon tietystä pisteestä. Jos haluat löytää objektin siirtymän kaavan derivaatan, johda funktio seuraavan yleisen säännön avulla: Jos y = a*x , Johdannainen = a*n*xn-1. Tämä sääntö koskee kaikkia komponentteja, jotka ovat yhtälön "t" -puolella.
Laske hetkellinen nopeus Vaihe 2
-
- Toisin sanoen, aloita laskemalla yhtälön "t" -puoli vasemmalta oikealle. Joka kerta kun saavutat arvon "t", vähennä 1 eksponentti -arvosta ja kerro koko alkuperäisellä eksponentilla. Kaikki vakiot (muuttujat, jotka eivät sisällä "t") menetetään, koska ne kerrotaan 0: lla. Tämä prosessi ei ole niin vaikea kuin voisi ajatella, johdetaan esimerkkinä yllä olevan vaiheen yhtälö:
s = -1,5t2+10t+4
(2) -1,5t(2-1)+ (1) 10 t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10 t0
- 3t + 10
Vaihe 2. Korvaa muuttuja "s" sanalla "ds/dt
"Osoittaaksesi, että uusi yhtälösi on edellisen yhtälön johdannainen, korvaa" s "sanalla" ds/dt ". Teknisesti tämä merkintä tarkoittaa" s: n johdannaista suhteessa t. "Yksinkertaisempi tapa ymmärtää tämä on, että ds /dt on kaltevuuden (kaltevuuden) arvo missä tahansa ensimmäisen yhtälön kohdassa, esimerkiksi esimerkiksi yhtälöstä s = -1,5t piirretyn suoran kaltevuuden määrittämiseksi2 + 10t + 4, kun t = 5, voimme liittää arvon "5" johdannaiskaavaan.
- Käytetyssä esimerkissä ensimmäinen johdannaiskaava näyttäisi nyt tältä:
ds/sek = -3t + 10
Vaihe 3. Kytke t: n arvo uuteen yhtälöön saadaksesi hetkellinen nopeusarvo
Nyt kun sinulla on derivaattayhtälö, hetkellinen nopeus on helppo löytää missä tahansa vaiheessa. Sinun tarvitsee vain valita arvo t: lle ja liittää se johdannaiskaavaan. Jos esimerkiksi haluat löytää hetkellisen nopeuden t = 5, voit korvata t -arvon arvolla "5" johdannaiskaavassa ds/dt = -3 + 10. Ratkaise sitten yhtälö seuraavasti:
ds/sek = -3t + 10
ds/sek = -3 (5) + 10
ds/sek = -15 + 10 = - 5 metriä/sekunti
Huomaa, että edellä käytetty yksikkö on "metri/sekunti". Koska laskemme siirtymän metreinä ja ajan sekunteina (sekunteina) ja nopeuden yleensä on siirtymä tietyssä ajassa, tämä yksikkö on käyttökelpoinen
Menetelmä 2/3: hetkellisen nopeuden graafinen arviointi
Vaihe 1. Piirrä kaavio objektin siirtymisestä ajan kuluessa
Yllä olevassa osassa derivaatta mainitaan kaavana, jolla määritetään kaltevuus tietystä pisteestä johdettavalle yhtälölle. Itse asiassa, jos esität objektin siirtymää kaaviona viivana, "suoran kaltevuus kaikissa pisteissä on yhtä suuri kuin sen hetkellisen nopeuden arvo kyseisessä kohdassa".
- Jos haluat kuvata objektin siirtymistä, käytä x edustaaksesi aikaa ja y edustamaan siirtymää. Piirrä sitten pisteet liittämällä t: n arvo yhtälöhösi, jolloin saat kaaviosi arvon s, merkitse t, s kaavioon (x, y).
- Huomaa, että kaaviosi voi ulottua x-akselin alle. Jos kohteen liikettä kuvaava viiva saavuttaa x-akselin, se tarkoittaa, että kohde on siirtynyt taaksepäin alkuperäisestä sijainnistaan. Yleensä kaaviosi ei saavuta y -akselin takaosaa - koska emme mittaa ohi kulkevan kohteen nopeutta!
Vaihe 2. Valitse viereinen piste P ja Q suorassa
Saadaksesi viivan kaltevuuden pisteeseen P, voimme käyttää temppua nimeltä "rajan ottaminen". Rajan ottaminen sisältää kaksi pistettä (P ja Q, lähellä oleva piste) kaarevalla viivalla ja suoran kaltevuuden löytämisen yhdistämällä ne monta kertaa, kunnes etäisyydet P ja Q lähestyvät.
Oletetaan, että objektin siirtorivi sisältää arvot (1, 3) ja (4, 7). Tässä tapauksessa, jos haluamme löytää kaltevuuden pisteestä (1, 3), voimme määrittää (1, 3) = P ja (4, 7) = Q.
Vaihe 3. Etsi P: n ja Q: n välinen kaltevuus
P: n ja Q: n välinen kaltevuus on P: n ja Q: n y-arvojen ero pitkin P: n ja Q: n x-akselin arvoeroa. H = (yQ - yP)/(xQ - xP), jossa H on kahden pisteen välinen kaltevuus. Esimerkissämme P: n ja Q: n välisen kaltevuuden arvo on
H = (yQ- yP)/(xQ- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Vaihe 4. Toista useita kertoja siirtämällä Q lähemmäs P
Tavoitteesi on pienentää P: n ja Q: n välistä etäisyyttä pisteeksi. Mitä lähempänä etäisyyttä P ja Q, sitä lähempänä suoran kaltevuus pisteessä P. Tee tämä useita kertoja käyttäen esimerkkinä käytettyä yhtälöä käyttäen pisteitä (2, 4.8), (1.5, 3.95) ja (1.25, 3.49) Q: na ja lähtökohta (1, 3) P: nä:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
Vaihe 5. Arvioi linjan kaltevuus hyvin pienelle etäisyydelle
Kun Q lähestyy P: tä, H tulee lähemmäksi ja lähemmäksi pisteen P kaltevuuden arvoa. Lopulta, kun se saavuttaa hyvin pienen arvon, H on P: n kaltevuus. Koska emme voi mitata tai laskea hyvin pieniä etäisyyksiä, voimme arvioida P: n kaltevuuden vasta sen jälkeen, kun se on selvää yrittämästämme kohdasta.
- Esimerkissä, kun siirrämme Q lähemmäs P: tä, saamme arvot 1,8, 1,9 ja 1,96 H: lle.
- Muista, että jyrkkyys missä tahansa linjan pisteessä on yhtä suuri kuin suoran yhtälön derivaatta. Koska käytetty viiva osoittaa kohteen siirtymän ajan myötä ja koska kuten edellisessä osassa näimme, kohteen hetkellinen nopeus on sen siirtymän johdannainen tietyssä kohdassa, voimme myös todeta, että "2 metriä sekunnissa "on hetkellisen nopeuden likimääräinen arvo t = 1.
Tapa 3/3: Esimerkkikysymyksiä
Vaihe 1. Etsi hetkellisen nopeuden arvo t = 4 siirtymäyhtälöstä s = 5t3 - 3 t2 +2t+9.
Tämä ongelma on sama kuin ensimmäisen osan esimerkki, paitsi että tämä yhtälö on kuutioyhtälö, ei tehoyhtälö, joten voimme ratkaista tämän ongelman samalla tavalla.
- Ensin otamme yhtälön johdannaisen:
- Syötä sitten arvo t (4):
s = 5t3- 3 t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3 t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9 t0 - 1
15 t(2) - 6 t(1) + 2 t(0)
15 t(2) - 6 t + 2
s = 15 t(2)- 6 t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metriä/sekunti
Vaihe 2. Käytä graafista estimaattia löytääksesi hetkellinen nopeus (1, 3) siirtymäyhtälölle s = 4t2 - t.
Tätä ongelmaa varten käytämme pistettä P (1, 3), mutta meidän on määritettävä toinen piste sen vieressä pisteeksi Q. Sitten meidän on vain määritettävä H: n arvo ja tehtävä arvio.
- Etsi ensin Q: n arvo kohdista t = 2, 1,5, 1,1 ja 1,01.
- Määritä sitten H: n arvo:
- Koska H: n arvo on hyvin lähellä 7, voimme todeta sen 7 metriä/sekuntion likimääräinen hetkellinen nopeus (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, niin Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9-1,5 = 7,5, niin Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, niin Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, niin Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Vaihe 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(.5) =
Vaihe 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
Vinkkejä
- Löytääksesi kiihtyvyyden arvon (nopeuden muutos ajan mittaan), käytä ensimmäisen osan menetelmää saadaksesi yhtälö siirtymäfunktion derivaatalle. Luo sitten johdettu yhtälö uudelleen, tällä kertaa johdetusta yhtälöstäsi. Tämä antaa sinulle yhtälön löytää kiihtyvyys milloin tahansa, sinun tarvitsee vain syöttää aika -arvo.
- Y: n (siirtymä) arvoon X (aika) liittyvä yhtälö voi olla hyvin yksinkertainen, esimerkiksi Y = 6x + 3. Tässä tapauksessa kaltevuusarvo on vakio, eikä sen laskemiseksi tarvitse löytää derivaattaa, jossa suoran yhtälön mukaan Y = mx + b on 6.
- Siirtymä on samanlainen kuin etäisyys, mutta sillä on suunta, joten siirtymä on vektorimäärä, kun taas etäisyys on skalaarinen määrä. Siirtymäarvo voi olla negatiivinen, mutta etäisyys on aina positiivinen.
