Pythagoraan lauseen käyttäminen: 12 vaihetta (kuvilla)

2024 Kirjoittaja: Jason Gerald | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-16 19:26

Pythagoraan lause kuvaa tyylikkään ja käytännöllisen suorakulmion sivujen pituuksia, joten tätä teoriaa käytetään edelleen laajalti. Tämä lause toteaa, että minkä tahansa suorakulmaisen kolmion kulmattomien sivujen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Toisin sanoen, jos kyseessä on suorakulmainen kolmio, jossa on kohtisuorat sivut a ja b ja hypotenuusa c, a² + b² = c².

Pythagoraan lause on yksi perusgeometrian peruspilareista. Tätä teoriaa käyttävät esimerkiksi lukemattomat sovellukset, joiden avulla on helppo löytää kahden pisteen välinen etäisyys koordinaattitasosta.

Vaihe

Menetelmä 1/2: Oikean kolmion sivujen löytäminen

Vaihe 1. Varmista, että kolmio on suorakulmio

Pythagoraan lause koskee vain suorakulmioita, joten ennen kuin jatkat, on erittäin tärkeää varmistaa, että kolmiosi ovat oikeiden kolmioiden ominaisuuksien mukaisia. Onneksi on yksi tekijä, joka voi osoittaa, että kolmio on suora kolmio. Kolmion tulisi olla yksi 90 asteen kulma.

Merkkinä suorakulmiot on usein merkitty pienillä neliöillä 90 asteen kulmien merkitsemiseksi ilman kaarevia "kaaria". Etsi tämä merkki kolmion kulmasta

Vaihe 2. Anna kolmion sivujen muuttujat a, b ja c

Pythagoraan lauseessa muuttujat a ja b edustavat sivuja, jotka kohtaavat oikean kolmion kohdalla, kun taas muuttuja c edustaa hypotenuusaa - pitkää sivua vastakkaista kulmaa. Merkitse siis aluksi kolmion lyhyet sivut muuttujilla a ja b (ei ole väliä, vaihdatko ne) ja merkitse hypotenuusa muuttujalla c.

Vaihe 3. Päätä, minkä puolen kolmiota haluat ratkaista

Pythagoraan lause mahdollistaa matemaatikkojen löytää suorakulmion minkä tahansa sivun pituuden niin kauan kuin he tietävät kahden muun sivun pituudet. Selvitä, mikä puoli on tuntematon - a, b ja/tai c. Jos toisen sivusi pituus on tuntematon, olet valmis siirtymään eteenpäin.

• Tiedämme esimerkiksi, että kolmion hypotenuusan pituus on 5 ja toisen sivun pituus 3, mutta emme ole varmoja kolmannen sivun pituudesta. Tässä tapauksessa tiedämme, että etsimme kolmannen sivun pituutta, ja koska tiedämme kahden muun pituuden, voimme ratkaista sen! Työskentelemme tämän ongelman kanssa seuraavien vaiheiden avulla.
• Jos et tiedä kahden sivun pituutta, sinun on tiedettävä toinen sivu, jotta voit käyttää Pythagoraan lauseita. Trigonometriset perustoiminnot voivat auttaa sinua, jos tiedät kolmion toisen sivun, joka ei ole vinossa.

Vaihe 4. Liitä jo tuntemasi kaksipuoliset arvot yhtälöön

Liitä kolmion sivujen pituudet yhtälöön a² + b² = c². Muista, että a ja b ovat kaltevia sivuja, kun taas c on hypotenuusa.

Esimerkissämme tiedämme yhden sivun pituuden ja hypotenuusan (3 ja 5), joten yhtälö muuttuu 3² + b² = 5²

Vaihe 5. Neliö

Voit ratkaista yhtälön aloittamalla neliöt tunnetuista puolista. Vaihtoehtoisesti, jos tämä on helpompaa, voit jättää sivupituudet neliöiksi ja neliöidä ne myöhemmin.

• Esimerkissämme neliöt 3 ja 5 niin, että saamme

  Vaihe 9. da

  Vaihe 25.. Voimme kirjoittaa yhtälön muodossa 9 + b² = 25.

Vaihe 6. Siirrä tuntematon muuttuja yhtälön toiselle puolelle

Käytä tarvittaessa algebrallisia perusoperaatioita saadaksesi tuntematon muuttuja siirtymään yhtälön toiselle puolelle ja kahden muun muuttujan neliö toiselle puolelle. Jos haluat löytää hypotenuusan pituuden, c on jo yhtälön toisella puolella, joten sinun ei tarvitse tehdä mitään sen siirtämiseksi.

Esimerkissämme nykyinen yhtälö on 9 + b² = 25. Jos haluat siirtää b², vähennä yhtälön molemmat puolet 9: llä, joten tulos on b² = 16

Vaihe 7. Yhtälön molempien puolien neliöjuuri

Nyt vain yksi muuttuja on nelikulmainen toiselle puolelle ja numero toiselle. Neliöjuuri molemmilta puolilta löytääksesi tuntemattoman sivun pituuden.

• Esimerkissämme b² = 16, kun otetaan molemmin puolin neliöjuuri, saadaan b = 4. Siten voimme sanoa, että kolmion tuntemattoman sivun pituus on

  Vaihe 4..

Vaihe 8. Käytä Pythagoraan lauseen avulla oikean kolmion sivut

Syy Pythagoraan lauseeseen on laajalti käytetty tänään, koska sitä voidaan soveltaa lukemattomiin käytännön tilanteisiin. Opi tuntemaan suorakolmiot tosielämässä - missä tahansa tilanteessa, jossa kaksi esinettä tai suoraa kohtaa suorakulman ja kolmas esine tai viiva liittyy kahteen kohteeseen tai viivaan vinosti, voit käyttää sivun pituutta Pythagoraan lauseen avulla toinen, jos kahden muun sivun pituudet ovat tiedossa.

• Kokeillaan todellista esimerkkiä, joka on hieman vaikeampi. Tikkaat nojaavat rakennusta vasten. Etäisyys portaiden pohjasta seinään on 5 metriä. Portaiden korkeus on 20 metriä. Kuinka pitkä tikkaat ovat?

  • 5 metrin päässä seinästä ja 20 metrin korkeudessa kertoo kolmion sivujen pituudet. Koska seinä ja maa (oletettu) muodostavat suorakulman ja tikkaat on tuettu vinosti seinää vasten, tätä järjestelyä voidaan pitää suorakulmiona, jonka sivupituudet ovat a = 5 ja b = 20. Tikapuiden pituus on hypotenuusa., joten c: n arvo ei ole tiedossa. Käytetään Pythagoraan lause:

    • a² + b² = c²
    • (5) ² + (20) ² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • juuri (425) = c
    • c = 20,6. Tikkaiden likimääräinen pituus on 20,6 metriä.

Menetelmä 2/2: Kahden pisteen välisen etäisyyden laskeminen X-Y-tasossa

Vaihe 1. Etsi kaksi pistettä X-Y-tasosta

Pythagoraan lauseella voidaan helposti laskea X-Y-tason kahden pisteen välinen suora etäisyys. Sinun tarvitsee vain tietää kahden pisteen x- ja y -koordinaatit. Yleensä nämä koordinaatit kirjoitetaan yhteen muodossa (x, y).

Näiden kahden pisteen välisen etäisyyden löytämiseksi katsomme jokaisen pisteen yhdeksi suorakulmion ei-suorakulmista. Näin on helppo löytää sivujen a ja b pituudet ja laskea sitten hypotenuusa c, joka on kahden pisteen välinen etäisyys

Vaihe 2. Piirrä kaksi pistettä kuvaan

Säännöllisessä XY-tasossa jokainen piste (x, y), x edustaa vaakakoordinaattia ja y edustaa pystysuuntaista koordinaattia. Löydät kahden pisteen välisen etäisyyden piirtämättä sitä, mutta näin saat visuaalisen kuvan, jonka avulla voit tarkistaa, onko vastauksesi oikea.

Vaihe 3. Etsi kolmion kaltevan sivun pituus

Käyttämällä kahta pistettä hypotenuusan vieressä olevan kolmion kulmina, etsi kolmion sivujen a ja b pituudet. Voit tehdä tämän käyttämällä kuvaa tai kaavaa | x₁ - x₂| vaakasivulle ja | y₁ - y₂| pystypuolelle, (x₁, y₁) ensimmäiseksi pisteeksi ja (x₂, y₂) toisena kohtana.

• Olkoon kaksi pistettämme (6, 1) ja (3, 5). Kolmion vaakasivun pituus on:

  • | x₁ - x₂|
  • |3 - 6|

  • | -3 | =

    Vaihe 3.

• Pystysuoran sivun pituus on:

  • | y₁ - y₂|
  • |1 - 5|

  • | -4 | =

    Vaihe 4.

• Joten oikeassa kolmionamme sivu a = 3 ja sivu b = 4.

Vaihe 4. Käytä hypotenuusan pituutta Pythagoraan lauseella

Kahden pisteen välinen etäisyys on sen kolmion hypotenuusan pituus, jonka kaksi sivua juuri löysit. Käytä Pythagorean teoriaa löytääksesi hypotenuusan, jossa a on ensimmäisen sivun pituus ja b on toisen sivun pituus.

• Esimerkissämme käytämme pisteitä (3, 5) ja (6, 1), joiden sivupituudet ovat 3 ja 4, joten voimme löytää hypotenuusan seuraavasti:

  • (3) ²+(4) ² = c²

    c = juuri (9+16)

    c = juuri (25)

    c = 5. Etäisyys (3, 5) ja (6, 1) on

    Vaihe 5..

Vinkkejä

• Hypotensio on aina:

  • oikeaa kulmaa vastapäätä (koskematta oikeaan kulmaan)
  • suoran kolmion pisin sivu
  • kutsutaan c: ksi Pythagoraan lauseessa
• juuri (x) tarkoittaa x: n neliöjuurta.
• Muista tarkistaa aina vastauksesi. Jos vastauksesi vaikuttaa väärältä, yritä uudelleen ja yritä uudelleen.
• Jos kolmio ei ole suora kolmio, tarvitset lisätietoja, ei vain kahden muun sivun pituutta.
• Toinen tapa tarkistaa - pisin sivu on suurinta kulmaa vastapäätä ja lyhin sivu pienintä kulmaa vastapäätä.
• Luvut ovat avain oikeiden arvojen kirjoittamiseen a, b ja c. Jos työskentelet tarinaongelman parissa, muista kirjoittaa ongelma ensin kuvamuotoon.
• Jos tiedät vain yhden sivun pituuden, Pythagoraan lause ei toimi. Kokeile käyttää trigonometriaa (syn, cos, tan) tai 30-60-90 / 45-45-90 -suhteita.