Jokaisessa funktiossa on kaksi muuttujaa, nimittäin riippumaton muuttuja ja riippuvainen muuttuja. Kirjaimellisesti riippuvaisen muuttujan arvo "riippuu" riippumattomasta muuttujasta. Esimerkiksi funktiossa y = f (x) = 2 x + y, x on riippumaton muuttuja ja y on riippuvainen muuttuja (toisin sanoen y on x: n funktio). Tunnetun muuttujan x kelvollisia arvoja kutsutaan "alkuperäalueiksi". Tunnetun y -muuttujan kelvollisia arvoja kutsutaan tulosalueeksi.
Vaihe
Osa 1/3: Toiminnon toimialueen löytäminen
Vaihe 1. Päätä, minkä tyyppistä toimintoa aiot suorittaa
Funktion toimialue on kaikki x-arvot (vaaka-akseli), jotka palauttavat kelvolliset y-arvot. Funktion yhtälö voi olla neliö, murto tai sisältää juuren. Jos haluat laskea funktion toimialueen, sinun on ensin tutkittava yhtälön muuttujat.
- Neliöfunktion muoto on kirves2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Esimerkkejä funktioista, joissa on murtoja, ovat: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), ja muut.
- Toimintoja, joilla on juuret, ovat: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x ja niin edelleen.
Vaihe 2. Kirjoita verkkotunnus muistiin oikein
Funktion toimialueen kirjoittaminen edellyttää hakasulkeiden [,] sekä hakasulkeiden (,) käyttöä. Käytä hakasulkeita [,], jos numero kuuluu toimialueeseen, ja hakasulkeita (,), jos toimialue ei sisällä numeroa. Kirjain U tarkoittaa liittoa, joka yhdistää verkkotunnuksen osat, jotka voidaan erottaa toisistaan.
- Esimerkiksi [-2, 10) U (10, 2] -alue sisältää -2 ja 2, mutta ei numeroa 10.
- Käytä aina sulkeita (), jos käytät ääretöntä symbolia,.
Vaihe 3. Piirrä kaavio toisen asteen yhtälöstä
Toisen asteen yhtälöt tuottavat parabolisen kuvaajan, joka avautuu ylös tai alas. Ottaen huomioon, että paraabeli jatkaa äärettömyyttä x-akselilla, useimpien toisen asteen yhtälöiden alue on kaikki reaaliluvut. Toisin sanoen toisen asteen yhtälö sisältää kaikki numerorivin x-arvot, jotka antavat verkkotunnuksen R (symboli kaikille todellisille numeroille).
- Voit ratkaista funktion valitsemalla minkä tahansa x-arvon ja syöttämällä sen funktioon. Funktion ratkaiseminen x-arvolla palauttaa y-arvon. X: n ja y: n arvot ovat funktion kuvaajan (x, y) koordinaatit.
- Piirrä nämä koordinaatit kaavioon ja toista prosessi toisella x-arvolla.
- Joidenkin arvojen piirtäminen tähän malliin antaa yleiskuvan toisen asteen funktion muodosta.
Vaihe 4. Jos funktion yhtälö on murto, tee nimittäjästä nolla
Kun työskentelet murto -osien kanssa, et voi koskaan jakaa nollalla. Kun lasket nimittäjän nollaksi ja löydät x: n arvon, voit laskea funktiosta otettavat arvot.
- Esimerkki: Määritä funktion f (x) = toimialue (x+1)/(x - 1).
- Funktion nimittäjä on (x - 1).
- Tee nimittäjäksi nolla ja laske x: n arvo: x - 1 = 0, x = 1.
- Kirjoita verkkotunnus muistiin: Funktion toimialue ei sisällä 1: tä, mutta sisältää kaikki reaaliluvut paitsi 1; siksi alue on (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) voidaan lukea kokoelmana kaikista todellisista numeroista lukuun ottamatta 1. Ääretön symboli,, edustaa kaikkia todellisia numeroita. Tässä tapauksessa kaikki reaaliluvut, jotka ovat suurempia kuin 1 ja pienempi kuin 1, sisältyvät toimialueeseen.
Vaihe 5. Jos yhtälö on juurifunktio, tee juurimuuttujista suurempia tai yhtä suuria kuin nolla
Et voi käyttää negatiivisen luvun neliöjuurta; siksi kaikki x-arvot, jotka johtavat negatiiviseen numeroon, on poistettava toiminnon toimialueelta.
- Esimerkki: Etsi funktion f (x) = (x + 3) toimialue.
- Juuren muuttujat ovat (x + 3).
- Tee arvo suurempi tai yhtä suuri kuin nolla: (x + 3) 0.
- Laske x: n arvo: x -3. Ratkaise x: x -3.
- Funktion toimialue sisältää kaikki reaaliluvut, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin -3; siksi verkkotunnus on [-3,).
Osa 2/3: Toisen asteen yhtälön alueen löytäminen
Vaihe 1. Varmista, että sinulla on neliöfunktio
Neliöfunktion muoto on kirves2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Neliöfunktion kuvaaja on parabooli, joka avautuu ylös tai alas. Toiminnon alue voidaan laskea eri tavoilla sen mukaan, minkä tyyppistä toimintoa käytät.
Helpoin tapa määrittää muiden toimintojen alue, kuten juurifunktio tai murto -funktio, on piirtää funktio graafisella laskimella
Vaihe 2. Etsi funktion kärjen x-arvo
Neliöfunktion kärki on paraabelin kärki. Muista, että toisen asteen funktio on ax2 + bx + c. Löydä x -koordinaatti käyttämällä yhtälöä x = -b/2a. Yhtälö on johdannainen perusasteen funktiosta, joka edustaa yhtälöä, jolla on nollakulma/kaltevuus (kaavion kärjessä funktion kaltevuus on nolla).
- Etsi esimerkiksi alue 3x2 + 6x -2.
- Laske kärkipisteen x -koordinaatti: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Vaihe 3. Laske funktion kärkipisteen y-arvo
Kytke x-koordinaatti funktioon, jotta voit laskea kärkipisteen vastaavan y-arvon. Tämä y-arvo ilmaisee funktion alueen rajan.
- Laske y-koordinaatti: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Tämän funktion kärki on (-1, -5).
Vaihe 4. Määritä paraabelin suunta kytkemällä vähintään yksi x-arvo lisää
Valitse mikä tahansa muu x-arvo ja liitä se funktioon sopivan y-arvon laskemiseksi. Jos y-arvo on kärjen yläpuolella, paraabeli jatkaa +∞. Jos y -arvo on kärjen alapuolella, paraabeli jatkaa -∞.
- Käytä x -arvoa -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Tämä lasku palauttaa koordinaatit (-2, -2).
- Nämä koordinaatit osoittavat, että paraabeli jatkuu kärkipisteen yläpuolella (-1, -5); siksi alue sisältää kaikki y -arvot, jotka ovat suurempia kuin -5.
- Tämän toiminnon alue on [-5,).
Vaihe 5. Kirjoita alue oikealla merkinnällä
Verkkotunnusten tavoin alueet kirjoitetaan samalla merkinnällä. Käytä hakasulkeita [,], jos numero on alueella, ja hakasulkeita (,), jos alue ei sisällä numeroa. U -kirjain osoittaa liitoksen, joka yhdistää alueet, jotka voidaan erottaa toisistaan etäisyydellä.
- Esimerkiksi alue [-2, 10) U (10, 2] sisältää -2 ja 2, mutta ei numeroa 10.
- Käytä aina sulkeita, jos käytät ääretöntä symbolia,.
Osa 3/3: Alueen etsiminen funktion kaaviosta
Vaihe 1. Piirrä funktio
Usein helpoin tapa määrittää funktion alue on piirtää se. Monilla juurifunktioilla on alue (-∞, 0] tai [0, +∞), koska vaakasuoran paraabelin (sivusuunnassa oleva parabooli) kärki on vaaka-x-akselilla. Tässä tapauksessa funktio sisältää kaikki positiiviset y-arvot, jos paraabeli avautuu, tai kaikki negatiiviset y-arvot, jos parabooli avautuu alaspäin. Murtofunktioilla on asymptootteja (viivoja, joita ei koskaan leikata suoralla / käyrällä, mutta jotka lähestytään äärettömyyteen), jotka määrittelevät funktion alueen.
- Jotkut juuritoiminnot alkavat x-akselin ylä- tai alapuolella. Tässä tapauksessa alue määräytyy sen numeron perusteella, josta juuritoiminto alkaa. Jos paraabeli alkaa y = -4 ja nousee ylös, niin alue on [-4, +∞).
- Helpoin tapa piirtää funktio on käyttää piirto -ohjelmaa tai graafista laskinta.
- Jos sinulla ei ole graafista laskinta, voit piirtää karkean luonnoksen kaaviosta liittämällä x-arvon funktioon ja hankkimalla sopivan y-arvon. Piirrä nämä koordinaatit kaavioon saadaksesi käsityksen siitä, miltä kaavio näyttää.
Vaihe 2. Etsi funktion vähimmäisarvo
Heti funktion piirtämisen jälkeen sinun pitäisi pystyä näkemään selvästi kaavion alin kohta. Jos selkeää minimiarvoa ei ole, tiedä, että jotkin toiminnot jatkuvat -∞ (ääretön).
Murtofunktio sisältää kaikki pisteet paitsi asymptoottien pisteet. Toiminnon alue on (-∞, 6) U (6,)
Vaihe 3. Määritä toiminnon maksimiarvo
Jälleen kaavion piirtämisen jälkeen sinun pitäisi pystyä tunnistamaan funktion maksimipiste. Jotkin toiminnot jatkuvat +∞: ssa, joten niillä ei ole vähimmäisarvoa.
Vaihe 4. Kirjoita alue asianmukaisella merkinnällä
Verkkotunnusten tavoin alueet kirjoitetaan samalla merkinnällä. Käytä hakasulkeita [,], jos numero on alueella, ja hakasulkeita (,), jos alue ei sisällä numeroa. U -kirjain osoittaa liitoksen, joka yhdistää alueet, jotka voidaan erottaa toisistaan etäisyydellä.
- Esimerkiksi alue [-2, 10) U (10, 2] sisältää -2 ja 2, mutta ei luku 10.
- Käytä aina sulkeita, jos käytät ääretöntä symbolia,.
