Implisiittisten toimintojen johtaminen: 7 vaihetta (kuvien kanssa)

2024 Kirjoittaja: Jason Gerald | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-19 22:12

Laskennassa, kun sinulla on yhtälö y: lle, joka on kirjoitettu muotoon x (esim. Y = x² -3x), johdannaisen löytämiseen on helppo käyttää perusjohtamistekniikoita (joita matemaatikot kutsuvat implisiittisiksi funktiojohdannaistekniikoiksi). Kuitenkin yhtälöille, joita on vaikea rakentaa vain y -termillä yhtäläisyysmerkin toisella puolella (esim. X² + y² - 5x + 8v + 2xy² = 19), tarvitaan erilainen lähestymistapa. Implisiittisten funktion johdannaisten tekniikan avulla on helppo löytää monimuuttujayhtälöiden johdannaisia, kunhan tiedät eksplisiittisten funktiojohdannaisten perusteet!

Vaihe

Menetelmä 1/2: Yksinkertaisten yhtälöiden nopea johtaminen

Vaihe 1. Johda x -termit tavalliseen tapaan

Kun yritetään johtaa monimuuttujaista yhtälöä, kuten x² + y² - 5x + 8v + 2xy² = 19, voi olla vaikeaa tietää mistä aloittaa. Onneksi implisiittisen funktion johdannaisen ensimmäinen vaihe on helpoin. Johda vain x-termit ja vakiot yhtälön molemmilla puolilla aluksi tavallisten (eksplisiittisten) johdannaissääntöjen mukaisesti. Jätä y-termit huomiotta toistaiseksi.

• Yritetään saada esimerkki yllä olevasta yksinkertaisesta yhtälöstä. x² + y² - 5x + 8v + 2xy² = 19 sisältää kaksi termiä x: x² ja -5x. Jos haluamme johtaa yhtälön, meidän on tehtävä tämä ensin seuraavasti:

  x² + y² - 5x + 8v + 2xy² = 19

  (Laske 2 x: n tehoon² kerroin, poista x -5x ja muuta 19 arvoon 0)

  2x + y² - 5 + 8v + 2xy² = 0

Vaihe 2. Johda y -termit ja lisää (dy/dx) jokaisen termin viereen

Seuraavassa vaiheessa johda vain y -termit samalla tavalla kuin x -termit. Tällä kertaa kuitenkin lisää (dy/dx) jokaisen termin viereen, kun lisäät kertoimia. Jos esimerkiksi alennat y², sitten derivaatasta tulee 2y (dy/dx). Ohita termit, joissa on x ja y toistaiseksi.

• Esimerkissämme yhtälö näyttää nyt tältä: 2x + y² - 5 + 8v + 2xy² = 0. Suoritamme seuraavan y: n johtamisvaiheen seuraavasti:

  2x + y² - 5 + 8v + 2xy² = 0

  (Laske 2: n tehoon y² kerroin, poista y 8y ja aseta dy/dx jokaisen termin viereen).

  2x + 2v (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Vaihe 3. Käytä tuotesääntöä tai jakosääntöä termeille, joilla on x ja y

Työskentely termeillä, joissa on x ja y, on hieman hankala, mutta jos tiedät tuotteen säännöt ja osuuden johdannaisille, se on helppoa. Jos termit x ja y kerrotaan, käytä tuotesääntöä ((f × g) '= f' × g + g × f '), korvaamalla x -termi f: llä ja y -termi g: llä. Toisaalta jos termit x ja y ovat toisiaan poissulkevia, käytä osamissääntöä ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), korvaamalla f -osoittimen ja g -nimittäjän.

• Esimerkissämme 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, meillä on vain yksi termi, jolla on x ja y - 2xy². Koska x ja y kerrotaan toisillaan, johdamme tuotesääntöä seuraavasti:

  2xy² = (2x) (y²)- aseta 2x = f ja y² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2 v² + 4xy (dy/dx)

• Lisäämällä tämän pääyhtälöihimme saamme 2x + 2v (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2v² + 4xy (dy/dx) = 0

Vaihe 4. Yksin (dy/dx)

Olet melkein valmis! Nyt sinun tarvitsee vain ratkaista yhtälö (dy/dx). Tämä tuntuu vaikealta, mutta se ei yleensä ole sitä - muista, että kaikki kaksi termiä a ja b kerrotaan (dy/dx) voidaan kirjoittaa muodossa (a + b) (dy/dx) kertomisen jakautumisominaisuuden vuoksi. Tämä taktiikka voi helpottaa eristämistä (dy/dx) - siirrä vain kaikki muut termit sulkeiden toiselle puolelle ja jaa ne sitten (dy/dx) -merkin vieressä olevilla termeillä.

• Esimerkissämme yksinkertaistamme 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 seuraavasti:

  2x + 2v (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2v² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2v + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2v² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2v + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Tapa 2/2: Edistyneiden tekniikoiden käyttö

Vaihe 1. Anna arvo (x, y) löytääksesi (dy/dx) mille tahansa pisteelle

Turvallinen! Olet jo johtanut yhtälösi implisiittisesti - ei helppo tehtävä ensimmäisellä yrityksellä! Tämän yhtälön käyttäminen gradientin (dy/dx) löytämiseksi mille tahansa pisteelle (x, y) on yhtä helppoa kuin pisteen x- ja y -arvojen liittäminen yhtälön oikealle puolelle ja sitten (dy/dx).

• Oletetaan esimerkiksi, että haluamme löytää gradientin pisteestä (3, -4) yllä olevalle esimerkkiyhtälöllemme. Tätä varten korvaamme x: n 3: lla ja y: n -4: llä ja ratkaisemme seuraavasti:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4)))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48tai 0, 6875.

Vaihe 2. Käytä toimintojen sisällä toimintojen ketjusääntöä

Ketjusääntö on tärkeä tieto, joka on oltava laskentaongelmien (myös implisiittisten funktioiden johdannaisongelmien) parissa. Ketjusääntö sanoo, että funktiolle F (x), joka voidaan kirjoittaa muodossa (f o g) (x), F (x) -johdannainen on yhtä suuri kuin f '(g (x)) g' (x). Vaikeissa implisiittisissä funktiojohdannaisongelmissa tämä tarkoittaa, että on mahdollista johtaa yhtälön eri yksittäiset osat ja yhdistää tulokset sitten.

• Oletetaan yksinkertaisena esimerkkinä, että meidän on löydettävä synnin johdannainen (3x² + x) osana suurempaa implisiittisen funktion derivaatan tehtävää yhtälölle sin (3x² + x) + y³ = 0. Jos kuvittelemme syntiä (3x² + x) f (x) ja 3x² + x g (x), voimme löytää johdannaisen seuraavasti:

  f '(g (x)) g' (x)

  (synti (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Vaihe 3. Jos yhtälöt sisältävät muuttujia x, y ja z, etsi (dz/dx) ja (dz/dy)

Vaikka peruslaskennassa on epätavallista, jotkin kehittyneet sovellukset voivat vaatia yli kahden muuttujan implisiittisten funktioiden johtamisen. Jokaiselle lisämuuttujalle sinun on löydettävä sen lisäjohdannainen suhteessa x. Jos sinulla on esimerkiksi x, y ja z, etsi sekä (dz/dy) että (dz/dx). Voimme tehdä tämän johtamalla yhtälön x: n suhteen kahdesti - ensin syötetään (dz/dx) joka kerta, kun johdamme termin, joka sisältää z, ja toiseksi lisäämme (dz/dy) joka kerta, kun johdamme z. Tämän jälkeen on vain ratkaistava (dz/dx) ja (dz/dy).

• Oletetaan esimerkiksi, että yritämme johtaa x: ää³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Ensin johdetaan x: ää vastaan ja kirjoitetaan (dz/dx). Muista soveltaa tuotesääntöä tarvittaessa!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5v⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 v⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 v⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 v⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Tee nyt sama (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3v²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3v² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3v² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)