Johdannaislaskennassa taivutuspiste on käyrän piste, jossa käyrä muuttaa merkkiä (positiivisesta negatiiviseksi tai negatiivisesta positiiviseksi). Sitä käytetään eri aiheissa, mukaan lukien tekniikka, talous ja tilastot, tietojen perustavanlaatuisten muutosten määrittämiseen. Jos sinun on löydettävä käyrän taivutuspiste, siirry vaiheeseen 1.
Vaihe
Tapa 1 /3: Inflection Points -pisteiden ymmärtäminen
Vaihe 1. Ymmärrä kovera toiminto
Kääntöpisteen ymmärtämiseksi sinun on erotettava kovera ja kupera funktio. Kovera funktio on funktio, jossa kaavion kaksi pistettä yhdistävä viiva ei ole koskaan kaavion yläpuolella.
Vaihe 2. Ymmärrä kupera toiminto
Kupera funktio on pohjimmiltaan kupera funktion vastakohta: toisin sanoen funktio, jossa kaavion kaksi pistettä yhdistävä viiva ei ole koskaan kaavion alapuolella.
Vaihe 3. Ymmärrä toiminnon perusteet
Funktion perusta on piste, jossa funktio on nolla.
Jos aiot piirtää funktion kuvaajaksi, pohjat ovat pisteitä, joissa funktio leikkaa x-akselin
Tapa 2/3: Funktion johdannaisen löytäminen
Vaihe 1. Etsi funktion ensimmäinen derivaatta
Ennen kuin voit löytää käännepisteen, sinun on löydettävä funktion derivaatta. Perustoiminnon johdannainen löytyy mistä tahansa laskentakirjasta; Sinun on opittava ne ennen kuin voit siirtyä monimutkaisempiin tehtäviin. Ensimmäinen derivaatta kirjoitetaan muodossa f '(x). Muodon axp + bx (p − 1) + cx + d polynomi -lausekkeelle ensimmäinen derivaatta on apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
Havainnollistamiseksi oletetaan, että sinun on löydettävä funktion f (x) = x3 +2x − 1 taivutuspiste. Laske funktion ensimmäinen derivaatta seuraavasti:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) ′ (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Vaihe 2. Etsi funktion toinen derivaatta
Toinen derivaatta on funktion ensimmäisen derivaatan ensimmäinen derivaatta, joka on kirjoitettu muodossa f (x).
-
Yllä olevassa esimerkissä funktion toisen derivaatan laskeminen olisi seuraava:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Vaihe 3. Tee toinen derivaatta nollaksi
Aseta toinen derivaatta nollaksi ja ratkaise yhtälö. Vastauksesi on mahdollinen käännekohta.
-
Yllä olevassa esimerkissä laskelmasi näyttää tältä:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
Vaihe 4. Etsi funktion kolmas derivaatta
Jos haluat nähdä, onko vastauksesi todella taivutuspiste, etsi kolmas derivaatta, joka on funktion toisen derivaatan ensimmäinen derivaatta, kirjoitettuna muodossa f (x).
-
Yllä olevassa esimerkissä laskelmasi näyttää tältä:
f (x) = (6x) ′ = 6
Tapa 3/3: Kääntöpisteiden löytäminen
Vaihe 1. Tarkista kolmas johdannaisesi
Mahdollisten taivutuspisteiden tarkistamisen vakiosääntö on seuraava: "Jos kolmas derivaatta ei ole nolla, f (x) =/ 0, mahdollinen taivutuspiste on itse asiassa taivutuspiste." Tarkista kolmas johdannaisesi. Jos se ei ole nolla, tämä arvo on todellinen taivutuspiste.
Yllä olevassa esimerkissä kolmas johdannaisesi on 6, ei 0. Näin ollen 6 on todellinen taivutuspiste
Vaihe 2. Etsi taivutuspiste
Kääntöpisteen koordinaatit kirjoitetaan muodossa (x, f (x)), missä x on muuttuvan pisteen arvo taivutuspisteessä ja f (x) on funktion arvo taivutuspisteessä.
-
Muista yllä olevassa esimerkissä, että kun lasket toisen derivaatan, huomaat, että x = 0. Siten sinun on löydettävä f (0) koordinaattien määrittämiseksi. Laskentasi näyttää tältä:
f (0) = 03 +2 × 0−1 = 1.
Vaihe 3. Kirjaa koordinaatit
Kääntöpisteesi koordinaatit ovat x-arvosi ja yllä laskamasi arvo.
