Etäisyys, joka usein annetaan muuttujalla "s", on tilan mitta, joka on suora viiva kahden pisteen välillä. Etäisyys voi viitata kahden liikkumattoman pisteen väliseen tilaan (esimerkiksi henkilön korkeus on etäisyys jalkojen pohjasta pään yläosaan) tai se voi tarkoittaa tilaa liikkuvan kohteen ja alkuperäinen sijainti, jossa kohde alkoi liikkua. Useimmat etäisyysongelmat voidaan ratkaista yhtälöllä s = v × t, jossa s on etäisyys, v on keskinopeus ja t on aika, tai s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), missä (x1, y1) ja (x2, y2) ovat kahden pisteen x- ja y -koordinaatit.
Vaihe
Menetelmä 1/2: Etäisyyden laskeminen keskinopeudella ja -ajalla
Vaihe 1. Etsi keskimääräiset nopeus- ja aika -arvot
Kun yritetään laskea etäisyys, jonka liikkuva esine on kulkenut, tässä laskelmassa on kaksi tärkeää tietoa: nopeus (tai nopeus) ja aika että liikkuva kohde on kulkenut. Näiden tietojen avulla on mahdollista laskea kohteen kulkema etäisyys kaavalla s = v × t.
Ymmärtääksemme paremmin etäisyyskaavan käyttöprosessin ratkaisemme tässä osiossa olevan esimerkkitehtävän. Oletetaan, että matkustamme tiellä nopeudella 120 mailia tunnissa (noin 193 km tunnissa) ja haluamme tietää, kuinka pitkälle olemme kulkeneet puolen tunnin aikana. Käyttää 120 mailia tunnissa keskimääräisen nopeuden arvona ja 0,5 tuntia ajan arvona ratkaisemme tämän ongelman seuraavassa vaiheessa.
Vaihe 2. Kerro keskinopeus ajan kanssa
Kun tiedät liikkuvan kohteen keskimääräisen nopeuden ja sen kuluneen ajan, ajetun matkan laskeminen on suhteellisen helppoa. Vain kertomalla kaksi arvoa löytääksesi vastauksen.
- Huomaa kuitenkin, että jos keskinopeuden arvossa käytetty aikayksikkö on eri kuin aika -arvossa käytetty, yksikkö on muutettava vastaamaan sitä. Jos esimerkiksi keskimääräinen nopeusarvomme mitattaisiin kilometreinä tunnissa ja aika -arvo minuutteina, sinun on jaettava aika -arvo 60: lla, jotta se muunnetaan tuntiksi.
- Lopetetaan esimerkkitehtävämme. 120 mailia/tunti × 0,5 tuntia = 60 mailia. Huomaa, että aika -arvon yksiköt (tuntia) jättävät pois keskinopeuden (tuntia) nimittäjän jättäen vain etäisyysyksiköt (mailit).
Vaihe 3. Laske toinen muuttuja muuttamalla yhtälöä
Perusetäisyysyhtälön (s = v × t) yksinkertaisuuden ansiosta yhtälön avulla on helppo löytää muun muuttujan arvo kuin etäisyys. Eristä vain muuttuja, jonka haluat löytää algebran perussääntöjen mukaisesti, ja syötä sitten kahden muun muuttujan arvot löytääksesi kolmannen muuttujan arvon. Toisin sanoen, laskea objektin keskimääräinen nopeus käyttämällä yhtälöä v = s/t ja laskea objektin kulunut aika yhtälön avulla t = s/v.
- Oletetaan esimerkiksi, että tiedämme, että auto on kulkenut 60 mailia 50 minuutissa, mutta meillä ei ole arvoa keskimääräiselle nopeudelle kohteen liikkuessa. Tässä tapauksessa voimme eristää muuttujan v perusmatkayhtälöstä saadaksesi v = d/t ja jakaa sitten vain 60 mailia/50 minuuttia saadaksesi vastauksen 1,2 mailia/minuutti.
- Huomaa, että esimerkissä nopeusvastaus sisältää epätavallisen yksikön (mailia/minuutti). Saadaksesi vastauksen yleisempiin kilometreihin tunnissa, kerro tuloksella 60 minuuttia/tunti 72 mailia/tunti.
Vaihe 4. Huomaa, että etäisyyskaavan muuttuja “v” viittaa keskinopeuteen
On tärkeää ymmärtää, että etäisyyskaava tarjoaa yksinkertaisen kuvan kohteen liikkeestä. Etäisyyskaava olettaa, että liikkuvan kohteen nopeus on vakio - toisin sanoen oletetaan, että liikkuvalla esineellä on yksi, muuttumaton nopeus. Abstrakteissa matemaattisissa ongelmissa, kuten sellaisissa, joita saatat kohdata akateemisessa ympäristössä, on joskus vielä mahdollista mallintaa objektin liikettä tämän oletuksen avulla. Tosielämässä nämä esimerkit eivät kuitenkaan usein heijasta tarkasti liikkuvien esineiden liikettä, joka itse asiassa voi nopeuttaa, hidastaa, pysäyttää ja peruuttaa ajan myötä.
- Esimerkiksi yllä olevassa esimerkkitehtävässä päädyimme siihen, että jos aiomme kulkea 60 mailia 50 minuutissa, meidän on matkustettava 72 mailia tunnissa. Tämä pätee kuitenkin vain, jos matkustat samalla nopeudella koko matkan ajan. Esimerkiksi matkustamalla 80 mailia tunnissa puolet matkasta ja 64 mailia tunnissa loput puolet, me silti kuljemme 60 mailia 50 minuutissa - 72 mailia/tunti = 60 mailia/50 minuuttia = ?????
- Laskentapohjaiset ratkaisut, joissa käytetään johdannaisia, ovat usein parempi vaihtoehto kuin etäisyyskaavat kohteen nopeuden määrittämiseksi todellisissa tilanteissa, koska nopeuden muutokset ovat mahdollisia.
Tapa 2/2: Kahden pisteen välisen etäisyyden laskeminen
Vaihe 1. Etsi kahden pisteen kaksi tilakoordinaattia
Mitä jos liikkuvan kohteen matkustaman matkan laskemisen sijaan sinun on laskettava kahden kiinteän kohteen välinen etäisyys? Tällaisessa tapauksessa edellä kuvattu nopeusperusteinen etäisyyskaava ei toimi. Onneksi eri etäisyyskaavoilla voidaan helposti laskea kahden pisteen välinen suora etäisyys. Tämän kaavan käyttämiseksi sinun on kuitenkin tiedettävä kahden pisteen koordinaatit. Jos käsitellään yksiulotteisia etäisyyksiä (kuten numerorivillä), koordinaatit koostuvat kahdesta luvusta x1 ja x2. Jos käsittelet etäisyyksiä kahdessa ulottuvuudessa, tarvitset kaksi arvoa (x, y), (x1, y1) ja (x2, y2). Lopuksi, kolmesta ulottuvuudesta tarvitset arvon (x1, y1, z1) ja (x2, y2, z2).
Vaihe 2. Laske yksiulotteinen etäisyys vähentämällä kahden pisteen koordinaattiarvot
Kahden pisteen välisen yksiulotteisen etäisyyden laskeminen, kun tiedät jo kunkin pisteen arvon, on helppo. Käytä vain kaavaa s = | x2 - x1|. Tässä kaavassa vähennät x: n1 alkaen x2, ota sitten vastauksesi absoluuttinen arvo löytääksesi etäisyyden x: n välillä1 ja x2. Yleensä haluat käyttää yksiulotteista etäisyyskaavaa, kun kaksi pistettä ovat suoralla tai numeroakselilla.
- Huomaa, että tämä kaava käyttää absoluuttisia arvoja (symboli " | |Absoluuttinen arvo tarkoittaa vain sitä, että symbolin sisällä oleva arvo muuttuu positiiviseksi, jos se on negatiivinen.
-
Oletetaan esimerkiksi, että pysähdymme tien reunalla täysin suoralla valtatiellä. Jos edessämme on kaupunki 5 mailin päässä ja toinen kilometrin päässä takana, niin kuinka kaukana nämä kaksi kaupunkia ovat? Jos asetamme kaupungin 1 x: ksi1 = 5 ja kaupunki 2 x: nä1 = -1, voimme laskea kahden kaupungin välisen etäisyyden s seuraavasti:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 mailia.
Vaihe 3. Laske kaksiulotteinen etäisyys Pythagoraan lauseen avulla
Kahden pisteen välisen etäisyyden laskeminen kaksiulotteisessa avaruudessa on monimutkaisempaa kuin yksiulotteista, mutta ei vaikeaa. Käytä vain kaavaa s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). Tässä kaavassa vähennä kaksi x-koordinaattia, laske neliöjuuri, vähennä kaksi y-koordinaattia, laske neliöjuuri, lisää sitten kaksi tulosta yhteen ja laske neliöjuuri löytääksesi kahden pisteen välinen etäisyys. Tätä kaavaa sovelletaan kaksiulotteiseen tasoon - esimerkiksi tavalliseen x/y -kuvaajaan.
- Kaksiulotteisessa etäisyyskaavassa käytetään Pythagorean teoriaa, jossa todetaan, että oikealla olevan kolmion hypotenuusan pituus on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöjuuri.
- Oletetaan esimerkiksi, että meillä on kaksi pistettä x -y -tasossa: (3, -10) ja (11, 7), jotka edustavat ympyrän keskipistettä ja ympyrän pistettä. Kahden pisteen välisen suoran etäisyyden löytämiseksi voimme laskea sen seuraavasti:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Vaihe 4. Laske kolmiulotteinen etäisyys muuttamalla kaksiulotteisen etäisyyden kaavaa
Kolmessa ulottuvuudessa pisteillä on z -koordinaatit x- ja y -koordinaattien lisäksi. Laske kahden pisteen välinen etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa käyttämällä s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Tämä on edellä kuvatun kaksiulotteisen etäisyyskaavan muokattu muoto, joka sisältää z-koordinaatin. Kun vähennät kaksi z-koordinaattia, lasket neliöjuuren ja jatkat muusta kaavasta, varmistat, että lopullinen vastauksesi edustaa kahden pisteen välistä kolmiulotteista etäisyyttä.
- Oletetaan esimerkiksi, että olemme astronautteja, jotka kelluvat avaruudessa kahden asteroidin välillä. Yksi asteroidi on noin 8 km edessä, 2 km oikealla ja 5 km alla meitä, kun taas toinen on noin 3 km takana, 3 km vasemmalla ja 4 km yläpuolella. Jos edustamme kahden asteroidin sijaintia koordinaateilla (8, 2, -5) ja (-3, -3, 4), voimme laskea niiden välisen etäisyyden seuraavasti:
- s = ((-3-8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
