3 tapaa algebrallisten yhtälöiden tekijänä

2024 Kirjoittaja: Jason Gerald | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-15 08:14

Matematiikassa, factoring on tapa löytää numeroita tai ilmaisuja, jotka kerrottuna tuottavat tietyn luvun tai yhtälön. Factoring on hyödyllinen taito oppia ratkaisemaan yksinkertaisia algebran ongelmia; kyky tekijä hyvin, tulee tärkeäksi, kun käsitellään toisen asteen yhtälöitä ja muita polynomien muotoja. Faktorointia voidaan käyttää algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamiseen niiden ratkaisujen helpottamiseksi. Factoring voi jopa antaa sinulle mahdollisuuden poistaa tietyt mahdolliset vastaukset paljon nopeammin kuin ratkaista ne manuaalisesti.

Vaihe

Menetelmä 1/3: Luvut ja tekijät ja yksinkertaiset algebralliset lausekkeet

Vaihe 1. Ymmärrä factoringin määritelmä, kun sitä sovelletaan yksittäisiin numeroihin

Faktorointi on yksinkertainen käsite, mutta käytännössä se voi olla haastavaa, kun sitä sovelletaan monimutkaisiin yhtälöihin. Siksi on helpointa lähestyä factoring -käsitettä aloittamalla yksinkertaisista numeroista ja sitten yksinkertaisista yhtälöistä, ennen kuin siirrytään lopulta monimutkaisempiin sovelluksiin. Luvun tekijät ovat numeroita, jotka kerrottuna tuottavat luvun. Esimerkiksi tekijät 12 ovat 1, 12, 2, 6, 3 ja 4, koska 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4 ovat yhtä kuin 12.

• Toinen tapa ajatella sitä on, että luvun tekijät ovat numeroita, jotka voivat jakautua tasaisesti lukuun.

• Löydätkö kaikki luvun 60 tekijät? Käytämme numeroa 60 eri tarkoituksiin (minuutteja tunnissa, sekunteja minuutissa jne.), Koska se voi olla jaettavissa useilla muilla numeroilla.

  Tekijät 60 ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60

Vaihe 2. Ymmärrä, että muuttujat lausekkeet voidaan myös ottaa huomioon

Aivan kuten numerot itsessään voidaan ottaa huomioon, muuttujat, joilla on lukukertoimet, voidaan myös ottaa huomioon. Voit tehdä tämän etsimällä vain muuttujien kertoimien tekijät. Muuttujan tekijöiden tunteminen on erittäin hyödyllistä yksinkertaistettaessa kyseiseen muuttujaan liittyviä algebrallisia yhtälöitä.

• Esimerkiksi muuttuja 12x voidaan kirjoittaa tekijöiden 12 ja x tulona. Voimme kirjoittaa 12x muodossa 3 (4x), 2 (6x) jne. Käyttämällä kumpaa tahansa tekijää 12, joka toimii parhaiten tarkoituksiimme.

  Voimme jopa tekijä 12x useita kertoja. Toisin sanoen meidän ei tarvitse pysähtyä kohtaan 3 (4x) tai 2 (6x) - voimme kertoa 4x ja 6x tuottaaksesi 3 (2 (2x) ja 2 (3 (2x)). ovat vastaavia

Vaihe 3. Käytä kertomisen jakautumisominaisuutta tekijän algebrallisiin yhtälöihin

Käyttämällä tietämystäsi sekä yksittäisten numeroiden että muuttujien tekijöistä kertoimilla voit yksinkertaistaa yksinkertaisia algebrallisia yhtälöitä etsimällä tekijät, jotka numeroilla ja muuttujilla on algebrallisissa yhtälöissä. Yleensä yhtälön yksinkertaistamiseksi yritämme löytää suurimman yhteisen tekijän. Tämä yksinkertaistamisprosessi on mahdollinen kertomisen jakautumisominaisuuden vuoksi, joka koskee mitä tahansa lukua a, b ja c. a (b + c) = ab + ac.

• Kokeillaan esimerkkikysymystä. Algebrallisen yhtälön 12x + 6 tekijäksi tekemiseksi yritetään ensin löytää suurin yhteinen kerroin 12x ja 6. 6 on suurin luku, joka voi jakaa 12x ja 6 tasaisesti, joten voimme yksinkertaistaa yhtälön 6: ksi (2x + 1).
• Tämä prosessi koskee myös yhtälöitä, joissa on negatiivisia lukuja ja murto -osia. Esimerkiksi x/2 + 4 voidaan yksinkertaistaa arvoon 1/2 (x + 8) ja -7x + -21 voidaan laskea arvoon -7 (x + 3).

Menetelmä 2/3: Toissijaisten yhtälöiden jakaminen

Vaihe 1. Varmista, että yhtälö on neliömuodossa (ax² + bx + c = 0).

Toisen asteen yhtälöillä on muoto ax² + bx + c = 0, jossa a, b ja c ovat lukuvakioita eivätkä ole yhtä suuria kuin 0 (huomaa, että a voi olla 1 tai -1). Jos sinulla on yhtälö, jossa on yksi muuttuja (x), jolla on yksi termi x, kahden tai useamman teholle, siirrät yleensä nämä termit yhtälössä käyttämällä yksinkertaisia algebrallisia toimintoja saadaksesi 0 yhtäläisyysmerkin ja kirveen kummallekin puolelle², jne. toisella puolella.

• Ajatellaan esimerkiksi algebrallista yhtälöä. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 voidaan yksinkertaistaa x: ksi² + 6x + 9 = 0, joka on neliön muoto.
• Yhtälöt, joilla on suurempi teho x, kuten x³, x⁴, jne. eivät ole toisen asteen yhtälöitä. Nämä yhtälöt ovat kuutiollisia yhtälöitä neljännelle teholle ja niin edelleen, ellei yhtälöä voida yksinkertaistaa poistamaan näitä x -termiä, joiden tehot ovat suurempia kuin 2.

Vaihe 2. Toisen asteen yhtälössä, jossa a = 1, kerro (x+d) (x+e), jossa d × e = c ja d+e = b

Jos toisen asteen yhtälösi on muodossa x² + bx + c = 0 (toisin sanoen, jos termin x kerroin² = 1), on mahdollista (mutta ei taattu), että yhtälön tekijä voidaan käyttää melko helppoa pikamenetelmää. Etsi kaksi numeroa, jotka kerrottuna antavat c ja lisätään tuottamaan b. Kun olet etsinyt näitä kahta numeroa d ja e, kirjoita ne seuraavaan lausekkeeseen: (x+d) (x+e). Nämä kaksi termiä kerrottuna antavat sinulle asteen yhtälön - toisin sanoen ne ovat toisen asteen yhtälön tekijöitä.

• Ajatellaanpa esimerkiksi toisen asteen yhtälöä x² + 5x + 6 = 0. 3 ja 2 kerrotaan 6: ksi ja lisätään myös 5: ksi, joten voimme yksinkertaistaa tämän yhtälön (x + 3) (x + 2).

• Pieni ero tässä perusnopeusmenetelmässä on samankaltaisuuksien eroissa:

  • Jos toisen asteen yhtälö on muodossa x²-bx+c, vastauksesi on tässä muodossa: (x - _) (x - _).
  • Jos yhtälö on muodossa x²+ bx + c, vastauksesi näyttää tältä: (x + _) (x + _).
  • Jos yhtälö on muodossa x²-bx -c, vastauksesi on muodossa (x + _) (x -_).
• Huomautus: tyhjät numerot voivat olla murtolukuja tai desimaaleja. Esimerkiksi yhtälö x² + (21/2) x + 5 = 0 otetaan huomioon (x + 10) (x + 1/2).

Vaihe 3. Jos mahdollista, tarkista tarkastukset

Usko tai älä, mutta yksinkertaisten toisen asteen yhtälöiden osalta yksi sallituista tekijämenetelmistä on tutkia ongelmaa ja harkita sitten mahdollisia vastauksia, kunnes löydät oikean vastauksen. Tätä menetelmää kutsutaan myös faktoringiksi tutkimuksen kautta. Jos yhtälö on muodossa ax²+bx +c ja a> 1, tekijävasteesi on muodossa (dx +/- _) (ex +/- _), missä d ja e ovat nollasta poikkeavien numeroiden vakioita, jotka kerrottuna antavat a. Ei d eikä e (tai molemmat) voi olla 1, vaikka sen ei tarvitse olla. Jos molemmat ovat 1, käytät pohjimmiltaan edellä kuvattua pikamenetelmää.

Ajatellaanpa esimerkkiongelmaa. 3x² - 8x + 4 näyttää aluksi vaikealta. Kuitenkin, kun ymmärrämme, että 3: lla on vain kaksi tekijää (3 ja 1), tämä yhtälö helpottuu, koska tiedämme, että vastauksemme on oltava muodoltaan (3x +/- _) (x +/- _). Tässä tapauksessa lisäämällä -2 molempiin aihioihin saadaan oikea vastaus. -2 × 3x = -6x ja -2 × x = -2x. -6x ja -2x yhteensä -8x. -2 × -2 = 4, joten voimme nähdä, että suluissa olevat termit kerrottuna tuottavat alkuperäisen yhtälön.

Vaihe 4. Ratkaise täyttämällä neliö

Joissakin tapauksissa toisen asteen yhtälöt voidaan laskea nopeasti ja helposti käyttämällä erityisiä algebrallisia identiteettejä. Mikä tahansa toisen asteen yhtälö muodossa x² + 2xh + h² = (x + h)². Joten jos yhtälössäsi b -arvo on kaksi kertaa c -arvon neliöjuuri, yhtälösi voidaan laskea (x + (juuri (c)))².

Esimerkiksi yhtälö x² +6x+9 on tämän muotoinen. 3² on 9 ja 3 × 2 on 6. Joten tiedämme, että tämän yhtälön tekijämuoto on (x + 3) (x + 3) tai (x + 3)².

Vaihe 5. Käytä tekijöitä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen

Riippumatta siitä, miten otit huomioon toisen asteen yhtälön, kun yhtälö on huomioitu, voit löytää mahdollisia vastauksia x: n arvoon tekemällä jokaisen tekijän yhtä suureksi kuin nolla ja ratkaisemalla ne. Koska etsit x: n arvoa, joka tekee yhtälöstäsi nollaa, x: n arvo, joka tekee minkä tahansa tekijän nollaksi, on mahdollinen vastaus neliökaavaasi.

Palataan yhtälöön x² + 5x + 6 = 0. Tämä yhtälö otetaan huomioon (x + 3) (x + 2) = 0. Jos jompikumpi kerroin on 0, kaikki yhtälöt ovat 0, joten mahdolliset x-vastauksemme ovat numeroita- luku, joka tekee (x + 3) ja (x + 2) ovat 0. Nämä luvut ovat -3 ja -2.

Vaihe 6. Tarkista vastauksesi - osa vastauksista voi olla harhaanjohtavia

Kun löydät mahdolliset vastaukset x: lle, liitä ne takaisin alkuperäiseen yhtälöosi nähdäksesi, onko vastaus oikea. Joskus löydetyt vastaukset eivät tee alkuperäisestä yhtälöstä nollaa, kun se syötetään uudelleen. Kutsumme tätä vastausta poikkeavaksi ja sivuutamme sen.

• Laitetaan -2 ja -3 x: ään² + 5x + 6 = 0. Ensinnäkin -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Tämä vastaus on oikea, joten -2 on oikea vastaus.

• Kokeillaan nyt -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Tämäkin vastaus on oikea, joten -3 on oikea vastaus.

Tapa 3/3: Muiden yhtälöiden huomioon ottaminen

Vaihe 1. Jos yhtälö ilmaistaan muodossa a²-b², kerroin (a+b) (a-b).

Yhtälöillä, joissa on kaksi muuttujaa, on eri tekijät kuin perusasteen yhtälössä. Yhtälölle a²-b² kaikki, missä a ja b eivät ole yhtä kuin 0, yhtälön tekijät ovat (a+b) (a-b).

Esimerkiksi yhtälö 9x² - 4v² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Vaihe 2. Jos yhtälö ilmaistaan muodossa a²+2ab+b², kerroin (a+b)².

Huomaa, että jos trinomi on muotoa a²-2ab+b², muodot ovat hieman erilaisia: (a-b)².

4x yhtälö² + 8xy + 4v² voidaan kirjoittaa uudelleen 4x² + (2 × 2 × 2) xy + 4v². Nyt voimme nähdä, että muoto on oikea, joten voimme olla varmoja, että yhtälömme tekijät ovat (2x + 2y)²

Vaihe 3. Jos yhtälö ilmaistaan muodossa a³-b³, kerroin (a-b) (a²+ab+b²).

Lopuksi mainittiin jo, että kuutiolliset yhtälöt ja jopa suuret tehot voidaan ottaa huomioon, vaikka factoring -prosessista tulee nopeasti hyvin monimutkainen.

Esimerkiksi 8x³ - 27 v³ otetaan huomioon (2x - 3 v) (4x² + ((2x) (3v)) + 9v²)

Vinkkejä

• a²-b² voidaan ottaa huomioon, a²+b² ei voi ottaa huomioon.
• Muista kuinka vakio. Tämä saattaa auttaa.
• Ole varovainen murto -osien kanssa factoring -prosessissa ja käsittele murtoja oikein ja huolellisesti.
• Jos sinulla on trinomi muoto x²+ bx+ (b/2)², muoto on (x+(b/2))². (Saatat kohdata tämän tilanteen, kun suoritat neliön.)
• Muista, että a0 = 0 (tuotteen ominaisuus nolla).