Järkevä yhtälö on murtoluku, jossa on yksi tai useampi muuttuja osoittimessa tai nimittäjässä. Järkevä yhtälö on mikä tahansa murto, joka sisältää vähintään yhden järkevän yhtälön. Tavallisten algebrallisten yhtälöiden tapaan järkevät yhtälöt ratkaistaan suorittamalla sama operaatio yhtälön molemmilla puolilla, kunnes muuttujat voidaan siirtää yhtälön kummallekin puolelle. Kaksi erikoistekniikkaa, ristin kertolasku ja pienimmän yhteisen nimittäjän löytäminen, ovat erittäin hyödyllisiä tapoja siirtää muuttujia ja ratkaista järkeviä yhtälöitä.
Vaihe
Menetelmä 1/2: Ristin kertolasku
Vaihe 1. Järjestä tarvittaessa yhtälösi uudelleen saadaksesi murtoluvun yhtälön toiselle puolelle
Ristin kertolasku on nopea ja helppo tapa ratkaista järkeviä yhtälöitä. Valitettavasti tätä menetelmää voidaan käyttää vain järkeviin yhtälöihin, jotka sisältävät vähintään yhden rationaalisen yhtälön tai murteen yhtälön kummallakin puolella. Jos yhtälösi ei täytä näitä tuotteiden välisiä vaatimuksia, sinun on ehkä käytettävä algebrallisia toimintoja osien siirtämiseen oikeisiin paikkoihin.
-
Esimerkiksi yhtälö (x + 3)/4-x/(-2) = 0 voidaan helposti laittaa ristituotteeksi lisäämällä x/(-2) yhtälön molemmille puolille niin, että siitä tulee (x + 3)/4 = x/(-2).
Huomaa, että desimaali- ja kokonaisluvut voidaan muuntaa murto -osiksi antamalla nimittäjä 1. (x + 3)/4-2, 5 = 5, esimerkiksi voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, jolloin se täyttää ristin kertoehdon
- Joitakin järkeviä yhtälöitä ei voida helposti pienentää muotoon, jossa on yksi murto tai järkevä yhtälö kummallakin puolella. Käytä tällöin samaa pienimmän nimittäjän lähestymistapaa.
Vaihe 2. Risti kerto
Ristin kertolasku tarkoittaa kertomäärän yhden lukijan kertomista toisen murto -osan nimittäjällä ja päinvastoin. Kerro vasemmalla olevan murto -osoitteen lukija oikealla olevan murton nimittäjällä. Toista oikea nimittäjä vasemman nimittäjän kanssa.
Ristin kertolasku toimii algebrallisten perusperiaatteiden mukaisesti. Järkevät yhtälöt ja muut murtoluvut voidaan tehdä murto-osiksi kertomalla ne nimittäjällä. Ristituote on pohjimmiltaan nopea tapa kertoa yhtälön molemmat puolet molemmilla nimittäjillä. Älä usko? Kokeile sitä - saat saman tuloksen yksinkertaistamisen jälkeen
Vaihe 3. Tee kaksi tuotetta samanarvoisiksi
Ristin kertomisen jälkeen saat kaksi kertolaskua. Tee niistä tasavertaisia ja yksinkertaista, jotta yhtälö olisi mahdollisimman yksinkertainen.
Esimerkiksi jos alkuperäinen järkevä yhtälö oli (x+3)/4 = x/(-2), ristin kertomisen jälkeen uudesta yhtälöstä tulee -2 (x+3) = 4x. Jos haluat, voit myös kirjoittaa sen -2x - 6 = 4x
Vaihe 4. Etsi muuttujasi arvo
Käytä algebrallisia toimintoja löytääksesi yhtälön muuttujan arvon. Muista, että jos x näkyy yhtälön molemmilla puolilla, sinun on lisättävä tai vähennettävä x yhtälön molemmilta puolilta, jotta x jätetään vain yhtälön puolelle.
Esimerkissämme voimme jakaa yhtälön molemmat puolet -2: llä, joten x+3 = -2x. Jos x vähennetään molemmilta puolilta, saadaan 3 = -3x. Lopuksi jakamalla molemmat puolet -3: lla tulokseksi tulee -1 = x, joka voidaan kirjoittaa muodossa x = -1. Olemme löytäneet x: n arvon ratkaisemalla järkevän yhtälömme
Tapa 2/2: Pienimmän yhteisen nimittäjän löytäminen
Vaihe 1. Tiedä tarkka aika käyttää samaa pienintä nimittäjää
Samaa pienintä nimittäjää voidaan käyttää yksinkertaistamaan järkeviä yhtälöitä ja tekemään niistä haettavissa muuttuja -arvoja. Pienimmän yhteisen nimittäjän löytäminen on hyvä idea, jos järkevää yhtälöäsi ei voida kirjoittaa yhtä murtoa (ja vain yhtä murtoa) yhtälön kummallekin puolelle. Kolmen tai useamman osan järkevien yhtälöiden ratkaisemiseksi pienin yhteinen nimittäjä on hyödyllinen. Kuitenkin ratkaista järkevä yhtälö, jossa on vain kaksi osaa, on nopeampaa käyttää ristituotetta.
Vaihe 2. Tarkista kunkin murtoluvun nimittäjä
Tunnista pienin luku, jonka jokainen nimittäjä voi jakaa ja tuottaa kokonaisluvun. Tämä luku on pienin yhteinen nimittäjä yhtälöllesi.
- Joskus pienin yhteinen nimittäjä - eli pienin luku, jolla on kaikki tekijät - on selvästi näkyvissä. Jos esimerkiksi yhtälösi on x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, ei ole vaikeaa nähdä pienintä lukua, jonka kerroin on 3, 2 ja 6, joka on luku 6.
- Kuitenkin usein järkevän yhtälön vähiten yhteinen nimittäjä ei ole selvästi näkyvissä. Tällaisessa tapauksessa yritä tarkistaa suuremman nimittäjän monikertoja, kunnes löydät luvun, jolla on kerroin kaikista muista pienemmistä nimittäjistä. Usein vähiten yhteinen nimittäjä on kahden nimittäjän tulos. Esimerkiksi yhtälössä x/8 + 2/6 = (x-3)/9 pienin yhteinen nimittäjä on 8*9 = 72.
- Jos yhdellä tai useammalla murto -osasi nimittäjällä on muuttujia, tämä prosessi on vaikeampi, mutta mahdollista tehdä. Tällaisessa tapauksessa vähiten yhteinen nimittäjä on yhtälö (jossa on muuttuja), joka on jaettavissa kaikkien muiden nimittäjien kanssa. Esimerkiksi yhtälössä 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) pienin yhteinen nimittäjä on 3x (x-1), koska mikä tahansa nimittäjä voi jakaa sen-jakamalla (x-1) saadaan 3x, jakamalla 3x antaa (x-1) ja jakamalla x antaa 3 (x-1).
Vaihe 3. Kerro järkevän yhtälön jokainen murto yhdellä
Jokaisen osan kertominen yhdellä vaikuttaa hyödyttömältä. Mutta tässä on temppu. 1 voidaan määritellä mikä tahansa numero, joka on sama sekä osoittimessa että nimittäjässä, kuten -2/2 ja 3/3, mikä on oikea tapa kirjoittaa 1. Tämä menetelmä hyödyntää vaihtoehtoista määritelmää. Kerro järkevän yhtälön jokainen murto yhdellä ja kirjoita numero 1, joka kerrottuna nimittäjällä antaa pienimmän yhteisen nimittäjän.
- Perusesimerkissämme kerromme x/3 2/2: lla saadaksesi 2x/6 ja kerro 1/2 1/2 3/3 saadaksesi 3/6. 2x + 1/6: lla on jo sama pienin nimittäjä, joka on 6, joten voimme kertoa sen 1/1: llä tai jättää sen rauhaan.
- Esimerkissämme, jossa muuttuja on murtoluvun nimittäjä, prosessi on hieman monimutkaisempi. Koska pienin nimittäjämme on 3x (x-1), kerrotaan jokainen järkevä yhtälö jollakin, joka palauttaa 3x (x-1). Kerrotaan 5/(x-1) (3x)/(3x), joka antaa 5 (3x)/(3x) (x-1), kerrotaan 1/x luvulla 3 (x-1)/3 (x- 1) joka antaa 3 (x-1)/3x (x-1) ja kertomalla 2/(3x) luvulla (x-1)/(x-1) saadaan 2 (x-1)/3x (x- 1).
Vaihe 4. Yksinkertaista ja etsi x: n arvo
Nyt kun järkevän yhtälön jokaisella osalla on sama nimittäjä, voit poistaa nimittäjän yhtälöstäsi ja ratkaista osoittimen. Kerro yhtälön molemmat puolet saadaksesi osoittimen arvon. Käytä sitten algebrallisia toimintoja löytääksesi arvon x (tai minkä tahansa muuttujan, jonka haluat ratkaista) yhtälön toiselta puolelta.
- Perusesimerkissämme, kun olemme kertoneet kaikki osat vaihtoehtoisella lomakkeella 1, saamme 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Kaksi murto -osaa voidaan lisätä, jos niillä on sama nimittäjä, joten voimme yksinkertaistaa tämän yhtälön muotoon (2x+3)/6 = (3x+1)/6 muuttamatta arvoa. Kerro molemmat puolet 6: lla nimittäjän poistamiseksi, joten tulos on 2x+3 = 3x+1. Vähennä 1 molemmilta puolilta saadaksesi 2x+2 = 3x ja vähennä 2x molemmilta puolilta saadaksesi 2 = x, joka voidaan kirjoittaa muodossa x = 2.
- Esimerkissämme, jossa nimittäjässä on muuttuja, yhtälömme kerrottuna yhdellä tulee 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Kun kaikki osat kerrotaan samalla pienimmällä nimittäjällä, jolloin voimme jättää nimittäjän pois, tulee 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Tämä koskee myös 5x = 3x -3 + 2x -2, mikä yksinkertaistuu 15x = x -5. Jos x vähennetään molemmilta puolilta, saadaan 14x = -5, mikä lopulta yksinkertaistuu x = -5/14.
Vinkkejä
- Kun olet ratkaissut muuttujan, tarkista vastauksesi liittämällä muuttujan arvo alkuperäiseen yhtälöön. Jos muuttujan arvo on oikea, voit yksinkertaistaa alkuperäisen yhtälön yksinkertaiseksi lausekkeeksi, joka on aina 1 = 1.
- Huomaa, että voit kirjoittaa minkä tahansa polynomin järkevänä yhtälönä; aseta se nimittäjän 1 yläpuolelle. Joten x+3: lla ja (x+3)/1: llä on sama arvo, mutta toinen yhtälö voidaan luokitella järkeväksi yhtälöksi, koska se on kirjoitettu murto -osana.
