Matematiikan oppilaita pyydetään usein kirjoittamaan vastauksensa yksinkertaisimmassa muodossaan - toisin sanoen kirjoittamaan vastaukset mahdollisimman tyylikkäästi. Vaikka pitkät, jäykät ja lyhyet sekä tyylikkäät yhtälöt ovat teknisesti sama asia, usein matemaattista tehtävää ei pidetä täydellisenä, jos lopullista vastausta ei yksinkertaisteta. Lisäksi vastaus yksinkertaisimmassa muodossaan on lähes aina helpoin yhtälö, jonka kanssa on helppo työskennellä. Tästä syystä yhtälöiden yksinkertaistamisen oppiminen on matemaatikoille tärkeä taito.
Vaihe
Tapa 1 /2: Toimintasarjan käyttäminen
Vaihe 1. Tiedä toimintojen järjestys
Kun yksinkertaistat matemaattisia lausekkeita, et voi työskennellä vain vasemmalta oikealle kertomalla, lisäämällä, vähentämällä jne. Vasemmalta oikealle. Joidenkin matemaattisten toimintojen on oltava etusijalla muihin nähden ja ne on suoritettava ensin. Itse asiassa väärän toimintojärjestyksen käyttäminen voi antaa väärän vastauksen. Toimintojen järjestys on: suluissa oleva osa, eksponentti, kertolasku, jako, summaus ja lopuksi vähennys. Lyhenne, jonka voit muistaa, on Äiti ei ole hyvä, paha ja köyhä.
Huomaa, että vaikka operatiivisen järjestyksen perustiedot voivat yksinkertaistaa yksinkertaisimpia yhtälöitä, erityistekniikoita tarvitaan monien muuttuvien yhtälöiden yksinkertaistamiseksi, mukaan lukien lähes kaikki polynomit. Katso lisätietoja seuraavasta toisesta menetelmästä
Vaihe 2. Aloita täyttämällä kaikki suluissa olevat osat
Matematiikassa sulut osoittavat, että sisäosa on laskettava erikseen lausekkeesta, joka on sulkeiden ulkopuolella. Riippumatta siitä, mitä toimintoja suluissa on, muista suorittaa suluissa oleva osa ensin, kun yrität yksinkertaistaa yhtälöä. Esimerkiksi suluissa sinun on kerrottava ennen laskemista, vähentämistä ja niin edelleen.
-
Yritetään esimerkiksi yksinkertaistaa yhtälö 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). Tässä yhtälössä meidän on ensin ratkaistava hakasulkeiden sisällä oleva osa, nimittäin 5 + 2 ja 3 + 4/2. 5 + 2 =
Vaihe 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Vaihe 5
Toisen hakasen osa on yksinkertaistettu 5: ksi, koska operaatiojärjestyksen mukaan jaamme 4/2 ensin hakasulkeisiin. Jos työskentelemme vain vasemmalta oikealle, lisäämme ensin 3 ja 4 ja jaamme sitten kahdella, jolloin saadaan väärä vastaus 7/2
- Huomaa - jos sulkeissa on useita sulkeita, täytä sisäisen hakasulkeen kohta, sitten toinen sisin jne.
Vaihe 3. Ratkaise eksponentti
Kun olet suorittanut hakasulkeet, ratkaise seuraavaksi yhtälön eksponentti. Tämä on helppo muistaa, koska eksponenteissa perusnumero ja tehon teho ovat vierekkäin. Etsi vastaus eksponentin jokaiseen osaan ja liitä vastauksesi yhtälöön korvaaksesi eksponenttiosan.
Kun sulkeissa oleva osa on suoritettu, esimerkkiyhtälöstämme tulee nyt 2x + 4 (7) + 32 - 5. Ainoa eksponentiaalinen esimerkissämme on 32, joka on 9. Lisää tämä tulos yhtälöösi korvataksesi 32 tuloksena 2x + 4 (7) + 9-5.
Vaihe 4. Ratkaise kertolaskutehtävä yhtälössäsi
Tee seuraavaksi yhtälössä tarvittava kertolasku. Muista, että kertolasku voidaan kirjoittaa monella tavalla. × -piste tai tähti -symboli on tapa näyttää kertolasku. Kuitenkin sulkujen tai muuttujan vieressä oleva luku (kuten 4 (x)) edustaa myös kertolaskua.
-
Tehtävässämme on kaksi kertomisen osaa: 2x (2x on 2 × x) ja 4 (7). Emme tiedä x: n arvoa, joten jätämme sen vain 2x: ksi. 4 (7) = 4 × 7 =
Vaihe 28.. Voimme kirjoittaa yhtälömme uudelleen 2x + 28 + 9-5.
Vaihe 5. Jatka jakamiseen
Kun etsit jako -ongelmia yhtälöissäsi, muista, että jako voidaan kirjoittaa kertomisen tapaan useilla tavoilla. Yksi näistä on symboli, mutta muista, että viivat ja katkoviivat, kuten murtoluvut (esim. 3/4), osoittavat myös jakautumisen.
Koska olemme jo tehneet jaon (4/2), kun viimeistelimme suluissa olevat osat. Esimerkissämme ei ole jo jako -ongelmaa, joten ohitamme tämän vaiheen. Tämä osoittaa tärkeän asian - sinun ei tarvitse suorittaa kaikkia toimintoja lausekkeen yksinkertaistamisen yhteydessä, vaan vain ongelmasi sisältämät toiminnot
Vaihe 6. Seuraavaksi lisää mitä tahansa yhtälöön
Voit työskennellä vasemmalta oikealle, mutta on helppo lisätä ensin helposti lisättävät numerot. Esimerkiksi tehtävässä 49 + 29 + 51 + 71 on helpompi lisätä 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 ja 100 + 100 = 200, kuin 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 ja 129 + 71 = 200.
Esimerkkiyhtälömme on yksinkertaistettu osittain 2x + 28 + 9-5. Nyt meidän on laskettava yhteen numerot, joita voimme lisätä - katsotaan jokaista lisäysongelmaa vasemmalta oikealle. Emme voi lisätä 2x ja 28, koska emme tiedä x: n arvoa, joten ohitamme sen. 28 + 9 = 37, voidaan kirjoittaa uudelleen 2x + 37 - 5.
Vaihe 7. Toimintasarjan viimeinen vaihe on vähennyslasku
Jatka ongelmaa ratkaisemalla jäljellä olevat vähennysongelmat. Voit ehkä ajatella vähentämistä negatiivisten numeroiden lisäämisenä tässä vaiheessa tai käyttämällä samoja vaiheita kuin tavallisen summausongelman yhteydessä - valinta ei vaikuta vastaukseesi.
-
Ongelmassamme, 2x + 37-5, on vain yksi vähennysongelma. 37-5 =
Vaihe 32.
Vaihe 8. Tarkista yhtälösi
Kun olet ratkaissut toimintojen järjestyksen, yhtälösi on yksinkertaistettava yksinkertaisimpaan muotoonsa. Jos yhtälösi sisältää kuitenkin yhden tai useamman muuttujan, ymmärrä, että muuttujiasi ei tarvitse käsitellä. Muuttujan yksinkertaistamiseksi sinun on joko löydettävä muuttujan arvo tai käytettävä erityisiä tekniikoita lausekkeen yksinkertaistamiseksi (katso alla oleva vaihe).
Lopullinen vastauksemme on 2x + 32. Emme voi ratkaista tätä viimeistä lisäystä, ellemme tiedä x: n arvoa, mutta jos tietäisimme sen arvon, tämä yhtälö olisi paljon helpompi ratkaista kuin pitkä alkuperäinen yhtälömme
Menetelmä 2/2: Yksinkertaistetaan monimutkaisia yhtälöitä
Vaihe 1. Lisää osat, joilla on sama muuttuja
Kun ratkaiset muuttujayhtälöitä, muista, että osia, joilla on sama muuttuja ja eksponentti (tai sama muuttuja), voidaan lisätä ja vähentää normaalien lukujen tapaan. Tällä osalla on oltava sama muuttuja ja eksponentti. Esimerkiksi 7x ja 5x voidaan lisätä, mutta 7x ja 5x2 ei voi laskea yhteen.
- Tämä sääntö koskee myös joitain muuttujia. Esimerkiksi 2xy2 voidaan summaa -3xy2, mutta sitä ei voi laskea yhteen -3x2y tai -3v2.
- Katso yhtälö x2 + 3x + 6-8x. Tässä yhtälössä voimme lisätä 3x ja -8x, koska niillä on sama muuttuja ja eksponentti. Yksinkertaisesta yhtälöstä tulee x2 - 5x + 6.
Vaihe 2. Yksinkertaista murtolukuja jakamalla tai ylittämällä tekijät
Murtoluvut, joissa on vain numeroita (eikä muuttujia), voidaan yksinkertaistaa useilla tavoilla. Ensimmäinen ja ehkä helpoin on ajatella murtoa jako -ongelmana ja jakaa nimittäjä osoittimella. Myös kaikki kertoimet, jotka näkyvät osoittimessa ja nimittäjässä, voidaan ylittää, koska kahden tekijän jakaminen johtaa numeroon 1.
Katso esimerkiksi murto -osaa 36/60. Jos meillä on laskin, voimme jakaa sen saadaksemme vastauksen 0, 6. Jos meillä ei kuitenkaan ole laskinta, voimme silti yksinkertaistaa sitä ylittämällä samat tekijät. Toinen tapa kuvitella 36/60 on (6 × 6)/(6 × 10). Tämä murto voidaan kirjoittaa muodossa 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, joten murto -osamme on itse asiassa 1 × 6/10 = 6/10. Emme kuitenkaan ole vielä valmiita - sekä 6: lla että 10: llä on sama kerroin, joka on 2. Toistamalla yllä olevan menetelmän tulokseksi tulee 3/5.
Vaihe 3. Ylitä muuttujan jakeessa kaikki muuttujan tekijät
Murtomuodossa olevilla muuttujayhtälöillä on ainutlaatuinen tapa yksinkertaistaa. Tavallisten murto -osien tapaan muuttuvien murto -osien avulla voit poistaa tekijät, jotka ovat yhteisiä sekä osoittimella että nimittäjällä. Muuttuvissa jakeissa nämä tekijät voivat kuitenkin olla todellisen muuttujan numeroita ja yhtälöitä.
- Sanotaan yhtälö (3x2 + 3x)/(-3x2 Tämä murto voidaan kirjoittaa muodossa (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x esiintyy sekä osoittimessa että nimittäjässä. Kun nämä tekijät ylitetään yhtälöstä, tulokseksi tulee (x + 1)/(5 - x). Sama kuin ilmaisussa (2x2 + 4x + 6)/2, koska jokainen osa on jaollinen 2: lla, voimme kirjoittaa yhtälön muodossa (2 (x2 + 2x + 3))/2 ja yksinkertaista sitten x: ksi2 + 2x + 3.
- Huomaa, että et voi ylittää kaikkia osia - voit ylittää vain kertoimet, jotka näkyvät osoittimessa ja nimittäjässä. Esimerkiksi lausekkeessa (x (x + 2))/x voidaan x ylittää sekä osoittimesta että nimittäjästä siten, että siitä tulee (x + 2)/1 = (x + 2). Kuitenkin (x + 2)/x ei voi ylittää arvoon 2/1 = 2.
Vaihe 4. Kerro suluissa oleva osa vakioilla
Kun kerrotaan osa, jolla on muuttuja suluissa, vakioilla, joskus jokaisen hakasulkeissa olevan osan kertominen vakioon voi johtaa yksinkertaisempaan yhtälöön. Tämä koskee vakioita, jotka koostuvat vain numeroista, ja vakioita, joissa on muuttujia.
- Esimerkiksi yhtälö 3 (x2 + 8) voidaan yksinkertaistaa 3x2 + 24, kun taas 3x (x2 + 8) voidaan yksinkertaistaa 3x3 + 24x.
- Huomaa, että joissakin tapauksissa, kuten muuttuvissa murto -osissa, sulkeissa olevat vakiot voidaan ylittää, joten niitä ei tarvitse kertoa suluissa olevalla osalla. Murtolukuina (3 (x2 + 8))/3x, esimerkiksi kerroin 3 esiintyy sekä osoittimessa että nimittäjässä, joten voimme ylittää sen ja yksinkertaistaa lausekkeen (x2 + 8)/x. Tämä ilmaisu on yksinkertaisempi ja helpompi käsitellä kuin (3x3 + 24x)/3x, mikä on tulos, jonka saamme kertomalla sen.
Vaihe 5. Yksinkertaista faktoroimalla
Faktorointi on tekniikka, jota voidaan käyttää yksinkertaistamaan joitakin muuttujia, mukaan lukien polynomit. Ajattele factoringia vastakohtana kertomalla suluissa olevalla osalla yllä olevassa vaiheessa - joskus lausekkeen voidaan ajatella olevan kaksi osaa, jotka kerrotaan toisilla, eikä yhtenäinen lauseke. Tämä pätee erityisesti, jos yhtälön faktorointi mahdollistaa yhden sen osien ylittämisen (kuten murto -osissa). Tietyissä tapauksissa (usein toisen asteen yhtälöissä) factoring voi jopa antaa sinun löytää ratkaisun yhtälöön.
- Oletetaan jälleen lauseke x2 - 5x + 6. Tämä lauseke voidaan laskea (x - 3) (x - 2). Joten jos x2 - 5x + 6 on tietyn yhtälön osoittaja, jossa nimittäjällä on jokin näistä tekijöistä, kuten lausekkeessa (x2 - 5x + 6)/(2 (x - 2)), haluaisimme kirjoittaa sen tekijämuodossa, jotta voimme kertoa tekijän nimittäjällä. Toisin sanoen kohdassa (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) osa (x - 2) voidaan yliviivata muotoon (x - 3)/2.
-
Kuten edellä on todettu, toinen syy, miksi haluat tehdä tekijöitä yhtälöistäsi, on se, että factoring voi antaa sinulle vastauksia tiettyihin yhtälöihin, varsinkin jos ne on kirjoitettu yhtä suureksi kuin 0. Esimerkiksi yhtälö x2 - 5x + 6 = 0. Kerroin antaa (x - 3) (x - 2) = 0. Koska mikä tahansa luku kerrottuna nollalla on nolla, tiedämme, että jos jokin osa suluista on nolla, kaikki yhtälö vasemmalla yhtäläisyysmerkki on myös nolla. Jotta
Vaihe 3. da
Vaihe 2. ovat kaksi vastausta yhtälöön.
