"Yhtälöjärjestelmässä" sinua pyydetään ratkaisemaan kaksi tai useampia yhtälöitä samanaikaisesti. Kun näissä kahdessa yhtälössä on kaksi eri muuttujaa, esimerkiksi x ja y, ratkaisu voi aluksi tuntua vaikealta. Onneksi kun tiedät mitä sinun on tehtävä, voit yksinkertaisesti käyttää algebrallisia taitojasi (ja murto -osien laskentatiedettä) ongelman ratkaisemiseksi. Opi myös piirtämään nämä kaksi yhtälöä, jos olet visuaalinen oppija tai jos opettaja sitä vaatii. Piirustukset auttavat sinua tunnistamaan aiheen tai tarkistamaan työn tulokset. Tämä menetelmä on kuitenkin hitaampi kuin muut menetelmät, eikä sitä voida käyttää kaikissa yhtälöjärjestelmissä.
Vaihe
Menetelmä 1/3: Korvausmenetelmän käyttö
Vaihe 1. Siirrä muuttujat yhtälön vastakkaiselle puolelle
Korvausmenetelmä alkaa etsimällä x: n arvo (tai mikä tahansa muu muuttuja) yhdestä yhtälöstä. Oletetaan esimerkiksi, että ongelman yhtälö on 4x + 2v = 8 ja 5x + 3v = 9. Aloita työskentelemällä ensimmäisen yhtälön parissa. Järjestä yhtälö vähentämällä 2y molemmilta puolilta. Näin saat 4x = 8-2 v.
Tämä menetelmä käyttää usein murtoja lopussa. Jos et pidä jakeiden laskemisesta, kokeile alla olevaa poistomenetelmää
Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat puolet "löytääksesi arvon x"
Kun termi x (tai mikä tahansa käyttämäsi muuttuja) on yksin yhtälön toisella puolella, jaa yhtälön molemmat puolet kertoimilla niin, että vain muuttuja jää. Esimerkiksi:
- 4x = 8-2 v
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Vaihe 3. Liitä ensimmäisen yhtälön x -arvo toiseen yhtälöön
Varmista, että liität sen toiseen yhtälöön sen sijaan, että olet juuri työskennellyt. Korvaa (korvaa) muuttuja x toisessa yhtälössä. Siten toisessa yhtälössä on nyt vain yksi muuttuja. Esimerkiksi:
- Tunnetaan x = 2 - y.
- Toinen yhtälösi on 5x + 3v = 9.
- Kun olet vaihtanut toisen yhtälön x -muuttujan ensimmäisen yhtälön x -arvon kanssa, saamme "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Vaihe 4. Ratkaise muut muuttujat
Nyt yhtälölläsi on vain yksi muuttuja. Laske yhtälö tavallisilla algebrallisilla operaatioilla löytääksesi muuttujan arvon. Jos nämä kaksi muuttujaa peruuttavat toisensa, siirry suoraan viimeiseen vaiheeseen. Muussa tapauksessa saat arvon yhdelle muuttujasta:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Jos et ymmärrä tätä vaihetta, opi lisäämään murtolukuja.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Vaihe 5. Etsi saatu vastaus löytääksesi x: n todellisen arvon ensimmäisestä yhtälöstä
Älä lopeta vielä, koska laskelmasi eivät ole vielä valmiita. Sinun on liitettävä saatu vastaus ensimmäiseen yhtälöön jäljellä olevien muuttujien arvon löytämiseksi:
- Tunnetaan y = -2
- Yksi ensimmäisen yhtälön yhtälöistä on 4x + 2v = 8. (Voit käyttää jompaakumpaa.)
- Korvaa y -muuttuja arvolla -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Vaihe 6. Tiedä mitä tehdä, jos nämä kaksi muuttujaa peruuttavat toisensa
Kun astut sisään x = 3v+2 tai vastaava vastaus toiseen yhtälöön, eli yrität saada yhtälön, jossa on vain yksi muuttuja. Joskus saat vain yhtälön ilman muuttuja. Tarkista työsi uudelleen ja varmista, että olet asettanut (järjestetty) yhtälön yksi yhtälöön kaksi sen sijaan, että palaisit ensimmäiseen yhtälöön. Kun olet varma, ettet ole tehnyt mitään väärin, kirjoita jokin seuraavista tuloksista:
- Jos yhtälössä ei ole muuttujia eikä se ole totta (esimerkiksi 3 = 5), tämä ongelma ei ole vastausta. (Kun tämä piirretään, nämä kaksi yhtälöä ovat rinnakkaisia eivätkä koskaan tapaa.)
- Jos yhtälössä ei ole muuttujia ja Oikea, (esim. 3 = 3), mikä tarkoittaa, että kysymyksessä on rajattomasti vastauksia. Yhtälö yksi on täsmälleen sama kuin yhtälö kaksi. (Graafisesti nämä kaksi yhtälöä ovat sama viiva.)
Menetelmä 2/3: Eliminaatiomenetelmän käyttö
Vaihe 1. Etsi toisiaan poissulkevat muuttujat
Joskus ongelman yhtälö on jo olemassa peruuttaa toisensa kun lasketaan yhteen. Jos esimerkiksi teet yhtälön 3x + 2v = 11 ja 5x - 2y = 13, termit "+2y" ja "-2y" poistavat toisensa ja poistavat muuttujan "y" yhtälöstä. Katso tehtävän yhtälöä ja katso, onko olemassa muuttujia, jotka kumoavat toisiaan, kuten esimerkissä. Jos ei, jatka seuraavaan vaiheeseen.
Vaihe 2. Kerro yhtälö yhdellä niin, että yksi muuttuja poistetaan
(Ohita tämä vaihe, jos muuttujat jo kumoavat toisensa.) Jos yhtälössä ei ole muuttujia, jotka kumoavat itsensä, muuta yhtä yhtälöistä, jotta ne voivat peruuttaa toisensa. Katso seuraavat esimerkit, jotta ymmärrät ne helposti:
- Tehtävän yhtälöt ovat 3x - y = 3 ja - x + 2y = 4.
- Muutetaan ensimmäinen yhtälö siten, että muuttuja y peruuttaa toisensa. (Voit käyttää muuttujaa x. Lopullinen vastaus on sama.)
- Muuttuva - y ensimmäisessä yhtälössä on poistettava + 2 v toisessa yhtälössä. Kuinka, kerro - y 2: n kanssa.
- Kerro yhtälön molemmat puolet 2: lla seuraavasti: 2 (3x - y) = 2 (3), niin 6x - 2v = 6. Nyt heimo - 2 v peruuttaa toistensa kanssa +2 v toisessa yhtälössä.
Vaihe 3. Yhdistä kaksi yhtälöä
Temppu on lisätä ensimmäisen yhtälön oikea puoli toisen yhtälön oikealle puolelle ja ensimmäisen yhtälön vasen puoli toisen yhtälön vasemmalle puolelle. Jos se tehdään oikein, yksi muuttujista peruuttaa toisensa. Yritetään jatkaa laskentaa edellisestä esimerkistä:
- Kaksi yhtälöäsi ovat 6x - 2v = 6 ja - x + 2y = 4.
- Yhdistä kahden yhtälön vasen puoli: 6x - 2v - x + 2v =?
- Yhdistä kahden yhtälön oikeat puolet: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Vaihe 4. Hanki viimeisen muuttujan arvo
Yksinkertaista yhdisteyhtälöäsi ja käytä standardialgebraa saadaksesi viimeisen muuttujan arvon. Jos yhtälössä ei ole muuttujia yksinkertaistamisen jälkeen, jatka tämän osan viimeiseen vaiheeseen.
Muussa tapauksessa saat arvon yhdelle muuttujasta. Esimerkiksi:
- Tunnetaan 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Ryhmän muuttujat x ja y yhdessä: 6x - x - 2v + 2v = 6 + 4.
- Yksinkertaista yhtälö: 5x = 10
- Etsi x -arvo: (5x)/5 = 10/5, saada haltuunsa x = 2.
Vaihe 5. Etsi toisen muuttujan arvo
Olet löytänyt yhden muuttujan arvon, mutta entä muut? Liitä vastauksesi yhteen yhtälöistä löytääksesi jäljellä olevan muuttujan arvon. Esimerkiksi:
- Tunnetaan x = 2, ja yksi ongelman yhtälöistä on 3x - y = 3.
- Korvaa x -muuttuja 2: 3 (2) - y = 3.
- Etsi y: n arvo yhtälöstä: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, niin 6 = 3 + y
- 3 = y
Vaihe 6. Tiedä mitä tehdä, kun nämä kaksi muuttujaa peruuttavat toisensa
Joskus kahden yhtälön yhdistäminen johtaa yhtälöön, joka ei ole järkevä tai ei auta ratkaisemaan ongelmaa. Tarkista työsi ja jos olet varma, ettet tehnyt mitään väärin, kirjoita yksi seuraavista kahdesta vastauksesta:
- Jos yhdistetyssä yhtälössä ei ole muuttujia eikä se ole totta (esimerkiksi 2 = 7), tämä ongelma ei ole vastausta. Tämä vastaus koskee molempia yhtälöitä. (Kun tämä piirretään, nämä kaksi yhtälöä ovat rinnakkaisia eivätkä koskaan tapaa.)
- Jos yhdistetyssä yhtälössä ei ole muuttujia ja Oikea, (esim. 0 = 0), mikä tarkoittaa, että kysymyksessä on rajattomasti vastauksia. Nämä kaksi yhtälöä ovat identtisiä keskenään. (Graafisesti nämä kaksi yhtälöä ovat sama viiva.)
Tapa 3/3: Piirrä kaavio
Vaihe 1. Suorita tämä menetelmä vain ohjeiden mukaan
Ellet käytä tietokonetta tai graafista laskinta, tämä menetelmä voi antaa vain likimääräisiä vastauksia. Opettajasi tai oppikirjasi voi kehottaa sinua käyttämään tätä menetelmää, jotta voit piirtää yhtälöt viivoiksi. Tätä menetelmää voidaan käyttää myös vastauksen tarkistamiseen johonkin yllä olevista tavoista.
Pääidea on, että sinun on kuvattava kaksi yhtälöä ja löydettävä niiden leikkauspiste. X: n ja y: n arvo tässä leikkauspisteessä on vastaus ongelmaan
Vaihe 2. Etsi molempien yhtälöiden y-arvot
Älä yhdistä kahta yhtälöä ja muuta yhtälöä siten, että muoto on "y = _x + _". Esimerkiksi:
- Ensimmäinen yhtälösi on 2x + y = 5. Vaihda y = -2x + 5.
- Ensimmäinen yhtälösi on - 3x + 6y = 0. Vaihda 6y = 3x + 0ja yksinkertaistaa y = x + 0.
- Jos kaksi yhtälöäsi ovat täsmälleen samat, koko viiva on kahden yhtälön "leikkauspiste". Kirjoittaa rajattomat vastaukset vastauksena.
Vaihe 3. Piirrä koordinaattiakselit
Piirrä pystysuora "y-akseli" -viiva ja vaakasuora "x-akseli" -viiva piirtopaperille. Aloita kohdasta, jossa kaksi akselia leikkaavat (0, 0), kirjoita numerotarrat 1, 2, 3, 4 jne. Ylöspäin y-akselille ja osoita oikealle x-akselilla. Kirjoita sen jälkeen ylös numerotarrat -1, -2 ja niin edelleen, jotka osoittavat y -akselia alaspäin ja osoittavat vasemmalle x -akselilla.
- Jos sinulla ei ole piirtopaperia, varmista viivaimen avulla, että väli numeroiden välillä on täsmälleen sama.
- Jos käytät suuria numeroita tai desimaaleja, suosittelemme skaalauskaaviota (esim. 10, 20, 30 tai 0, 1, 0, 2, 0, 3 1, 2, 3 sijaan).
Vaihe 4. Piirrä y-leikkauspiste jokaiselle yhtälölle
Jos yhtälö on muodossa y = _x + _, voit aloittaa kaavion piirtämisen tekemällä pisteen, jossa yhtälöviiva leikkaa y-akselin. Y: n arvo on aina sama kuin yhtälön viimeinen luku.
- Edellisen esimerkin mukaisesti ensimmäinen rivi (y = -2x + 5) leikkaa y-akselin kohdassa
Vaihe 5.. toinen linja (y = x + 0) leikkaa y-akselin kohdassa 0. (Nämä pisteet on kirjoitettu kaavioon (0, 5) ja (0, 0).)
- Jos mahdollista, piirrä ensimmäinen ja toinen viiva erivärisillä kynillä tai lyijykynillä.
Vaihe 5. Käytä kaltevuutta linjan jatkamiseen
Yhtälömuodossa y = _x + _, x: n edessä oleva numero osoittaa viivan "kaltevuustason". Joka kerta kun x: ää suurennetaan yhdellä, y: n arvo kasvaa kaltevuusasteiden lukumäärän verran. Käytä näitä tietoja löytääksesi pisteet jokaisesta kaaviosta, kun x = 1. (Voit myös kirjoittaa x = 1 jokaiseen yhtälöön ja löytää y: n arvon.)
- Jatketaan edellistä esimerkkiä, rivi y = -2x + 5 on kaltevuus - 2. Pisteessä x = 1 viiva liikkuu alas 2 x pisteestä x = 0. Piirrä viiva, joka yhdistää (0, 5) ja (1, 3).
- Linja y = x + 0 on kaltevuus ½. Kun x = 1, viiva liikkuu ratsastaa pisteestä x = 0. Piirrä viiva, joka yhdistää (0, 0) ja (1,).
- Jos kahdella viivalla on sama kaltevuus, nämä kaksi eivät koskaan risteä. Tällä yhtälöjärjestelmällä ei siis ole vastausta. Kirjoittaa ei vastausta vastauksena.
Vaihe 6. Jatka linjojen yhdistämistä, kunnes kaksi viivaa leikkaavat
Lopeta työ ja katso kaaviota. jos kaksi viivaa ovat ylittäneet toisensa, jatka seuraavaan vaiheeseen. Jos ei, tee päätös kahden rivisi sijainnin perusteella:
- Jos kaksi viivaa lähestyvät toisiaan, jatka raitojen pisteiden yhdistämistä.
- Jos kaksi viivaa siirtyvät poispäin toisistaan, mene taaksepäin ja yhdistä pisteet vastakkaisiin suuntiin alkaen x = 1.
- Jos kaksi viivaa ovat hyvin kaukana toisistaan, yritä hypätä yli ja yhdistää kauempana olevat pisteet, esimerkiksi x = 10.
Vaihe 7. Etsi vastaus leikkauspisteestä
Kun kaksi riviä leikkaavat, x: n ja y: n arvo tässä vaiheessa on vastaus ongelmaasi. Jos olet onnekas, vastaus on kokonaisluku. Esimerkiksi esimerkissämme kaksi suoraa leikkaavat pisteessä (2, 1) niin vastaus on x = 2 ja y = 1. Joissakin yhtälöjärjestelmissä viivan leikkauspiste on kahden kokonaisluvun välissä, ja jos kaavio ei ole kovin tarkka, on vaikea määrittää, missä x- ja y -arvot ovat leikkauspisteessä. Jos se on sallittua, voit kirjoittaa vastaukseksi”x on 1–2” tai löytää vastauksen korvaus- tai eliminointimenetelmällä.
Vinkkejä
- Voit tarkistaa työn liittämällä vastaukset alkuperäiseen yhtälöön. Jos yhtälö osoittautuu oikeaksi (esim. 3 = 3), se tarkoittaa, että vastauksesi on oikea.
- Kun käytät eliminointimenetelmää, sinun on joskus kerrottava yhtälö negatiivisella luvulla, jotta muuttujat voivat kumota toisensa.
