Johdannaisia voidaan käyttää kaavion hyödyllisten ominaisuuksien johtamiseen, kuten maksimi-, minimi-, huippu-, minimi- ja kaltevuusarvot. Voit jopa käyttää sitä monimutkaisten yhtälöiden kuvaamiseen ilman graafista laskinta! Valitettavasti johdannaisten parissa työskentely on usein työlästä, mutta tämä artikkeli auttaa sinua saamaan vinkkejä ja temppuja.
Vaihe
Vaihe 1. Ymmärrä johdettu merkintä
Seuraavat kaksi merkintää ovat yleisimmin käytettyjä, vaikka monia muita löytyy täältä Wikipediasta.
- Leibnizin merkintä Tämä merkintä on yleisimmin käytetty merkintä, kun yhtälö sisältää y ja x. dy/dx tarkoittaa kirjaimellisesti y: n johdannaista suhteessa x. Voi olla hyödyllistä ajatella sitä y/Δx hyvin eri arvoilla x ja y. Tämä selitys johtaa johdannaisrajan määritelmään: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. Kun käytät tätä merkintää toiselle johdannaiselle, sinun tulee kirjoittaa: d2y/dx2.
- Lagrangen merkintä Funktion f derivaatta kirjoitetaan myös muodossa f '(x). Tämä merkintä lukee f aksenttimerkillä x. Tämä merkintä on lyhyempi kuin Leibnizin merkintätapa, ja siitä on hyötyä, kun tarkastellaan johdannaisia funktioina. Jos haluat muodostaa suuremman johdannaisasteen, lisää vain 'f: ään, joten toinen johdannainen on f' '(x).
Vaihe 2. Ymmärrä johdannaisen merkitys ja syyt laskeutumiseen
Ensinnäkin lineaarisen kuvaajan kaltevuuden löytämiseksi otetaan kaksi suoran pistettä ja niiden koordinaatit syötetään yhtälöön (y2 - y1)/(x2 - x1). Sitä voidaan kuitenkin käyttää vain lineaarisiin kaavioihin. Jos kyseessä on toisen asteen yhtälö ja sitä korkeampi, viiva on käyrä, joten kahden pisteen välisen eron löytäminen ei ole kovin tarkkaa. Tangentin kaltevuuden löytämiseksi käyräkaaviosta otetaan kaksi pistettä ja laitetaan yleiseen yhtälöön käyräkaavion kaltevuuden löytämiseksi: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx tarkoittaa deltaa x, joka on kahden x -koordinaatin ero kaavion kahdessa kohdassa. Huomaa, että tämä yhtälö on sama kuin (y2 - y1)/(x2 - x1), vain eri muodossa. Koska tiedettiin, että tulokset olisivat epätarkkoja, sovellettiin epäsuoraa lähestymistapaa. Jos haluat löytää tangentin (x, f (x)) kaltevuuden, dx: n on oltava lähellä 0: ta, jotta kaksi piirrettyä pistettä sulautuvat yhdeksi pisteeksi. Et kuitenkaan voi jakaa nollaa, joten kun olet syöttänyt kaksipistearvot, sinun on käytettävä factoringia ja muita menetelmiä dx: n poistamiseksi yhtälön alareunasta. Kun olet tehnyt sen, tee dx 0 ja olet valmis. Tämä on (x, f (x)): n tangentin kaltevuus. Yhtälön derivaatta on yleinen yhtälö minkä tahansa tangentin kaltevuuden löytämiseksi kaaviosta. Tämä voi tuntua hyvin monimutkaiselta, mutta alla on muutamia esimerkkejä, jotka auttavat selittämään, miten johdannainen saadaan.
Menetelmä 1: 4: nimenomaiset johdannaiset
Vaihe 1. Käytä eksplisiittistä johdannaista, jos yhtälössäsi on jo y toisella puolella
Vaihe 2. Liitä yhtälö yhtälöön [f (x + dx) - f (x)]/dx
Jos yhtälö on esimerkiksi y = x2, johdannainen on [(x + dx)2 - x2]/dx.
Vaihe 3. Laajenna ja poista dx muodostaaksesi yhtälön [dx (2x + dx)]/dx
Nyt voit heittää kaksi dx: tä päälle ja alas. Tulos on 2x + dx, ja kun dx lähestyy nollaa, johdannainen on 2x. Tämä tarkoittaa, että kaavion minkä tahansa tangentin kaltevuus y = x2 on 2x. Syötä vain x-arvo sille pisteelle, josta haluat löytää kaltevuuden.
Vaihe 4. Opi malleja samanlaisten yhtälöiden johtamiseksi
Tässä muutamia esimerkkejä.
- Mikä tahansa eksponentti on teho kertaa arvo, joka on korotettu tehoon alle 1. Esimerkiksi x: n derivaatta5 on 5x4ja x: n johdannainen3, 5 iis3, 5x2, 5. Jos x: n edessä on jo luku, kerro se teholla. Esimerkiksi 3x: n johdannainen4 on 12x3.
- Minkä tahansa vakion derivaatta on nolla. Joten 8: n derivaatta on 0.
- Summan johdannainen on vastaavien johdannaisten summa. Esimerkiksi x: n derivaatta3 + 3x2 on 3x2 + 6x.
- Tuotteen johdannainen on ensimmäinen tekijä kertaa toisen kerroimen johdannainen plus toinen kerroin kertaa kerroin. Esimerkiksi x: n derivaatta3(2x + 1) on x3(2) + (2x + 1) 3x2, joka on 8x3 + 3x2.
- Osamäärän johdannainen (esimerkiksi f/g) on [g (f: n johdannainen) - f (g: n johdannainen]/g2. Esimerkiksi (x: n johdannainen2 + 2x - 21)/(x - 3) on (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Menetelmä 2/4: Epäsuorat johdannaiset
Vaihe 1. Käytä implisiittisiä johdannaisia, jos yhtälöäsi ei voida jo kirjoittaa y: llä toisella puolella
Itse asiassa, jos kirjoitit y toiselle puolelle, dy/dx: n laskeminen olisi työlästä. Tässä on esimerkki siitä, miten voit ratkaista tämän tyyppisen yhtälön.
Vaihe 2. Tässä esimerkissä x2y + 2v3 = 3x + 2y, korvaa y f (x): llä, joten muistat, että y on itse asiassa funktio.
Yhtälöstä tulee silloin x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Vaihe 3. Jos haluat löytää tämän yhtälön derivaatan, johda yhtälön molemmat puolet suhteessa x: hen
Yhtälöstä tulee sitten x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Vaihe 4. Korvaa f (x) uudelleen y: llä
Varo korvaamasta f '(x), joka on erilainen kuin f (x).
Vaihe 5. Etsi f '(x)
Vastaus tähän esimerkkiin tulee (3 - 2xy)/(x2 + 6 v2 - 2).
Tapa 3/4: Korkeamman asteen johdannaiset
Vaihe 1. Korkeamman asteen funktion johtaminen tarkoittaa, että johdat johdannaisen (järjestykseen 2)
Jos ongelma esimerkiksi pyytää sinua johtamaan kolmannen kertaluvun, ota vain johdannaisen johdannainen. Joissakin yhtälöissä ylemmän asteen johdannainen on 0.
Menetelmä 4/4: Ketjusääntö
Vaihe 1. Jos y on z: n differentiaalifunktio ja z on x: n differentiaalifunktio, y on x: n yhdistelmäfunktio ja y: n derivaatta suhteessa x (dy/dx) on (dy/du)* (du/dx)
Ketjusääntö voi olla myös yhdistelmä tehoyhtälöitä, kuten tämä: (2x4 - x)3. Jos haluat löytää johdannaisen, ajattele sitä kuin kertosääntöä. Kerro yhtälö teholla ja pienennä 1: llä tehoon. Kerro sitten yhtälö suluissa olevan yhtälön derivaatalla, joka nostaa tehoa (tässä tapauksessa 2x^4 - x). Vastaus tähän kysymykseen on 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Vinkkejä
- Aina kun näet vaikean ongelman ratkaista, älä huoli. Yritä vain jakaa se mahdollisimman moniin pienempiin osiin soveltamalla kertolaskuja, osamäärää jne. Laske sitten jokainen osa alas.
- Harjoittele kertosääntöä, osamissääntöä, ketjusääntöä ja erityisesti implisiittisiä johdannaisia, koska nämä säännöt ovat paljon vaikeampia laskennassa.
- Ymmärrä laskimesi hyvin; kokeile laskimen eri toimintoja oppiaksesi käyttämään niitä. On erittäin hyödyllistä tietää, kuinka käyttää tangentteja ja johdannaisfunktioita laskimessasi, jos niitä on saatavilla.
- Muista trigonometriset perusjohdannaiset ja niiden käyttö.
