Vektori on fyysinen määrä, jolla on sekä suuruus että suunta (esim. Nopeus, kiihtyvyys ja siirtymä), toisin kuin skalaari, joka koostuu vain suuruudesta (esim. Nopeus, etäisyys tai energia). Jos skalaareja voidaan lisätä lisäämällä suuruusluokkia (esim. 5 kJ työ plus 6 kJ työ vastaa 11 kJ työtä), vektorit ovat hieman hankala lisätä tai vähentää. Katso vaihe 1 alla oppiaksesi lisäämään tai vähentämään vektoreita.
Vaihe
Menetelmä 1/3: Vektoreiden lisääminen ja vähentäminen, joiden komponentit ovat tunnettuja
Vaihe 1. Kirjoita vektorin mittakomponentit muistiin vektorin merkinnöissä
Koska vektoreilla on suuruus ja suunta, ne voidaan yleensä jakaa osiin x-, y- ja/tai z -mittojen perusteella. Nämä mitat on yleensä kirjoitettu vastaavalla merkinnällä kuvaamaan pistettä koordinaattijärjestelmässä (esim. Ja muut). Jos tiedät tämän osan, vektoreiden lisääminen tai vähentäminen on erittäin helppoa, vain lisää tai vähennä niiden x-, y- ja z -koordinaatit.
- Huomaa, ovatko vektorin mitat 1, 2 tai 3. Vektorilla voi siis olla komponentteja x, x ja y tai x, y ja z. Seuraavassa esimerkissämme käytetään kolmiulotteista vektoria, mutta prosessi on kuin 1- tai 2-ulotteinen vektori.
- Oletetaan, että meillä on kaksi kolmiulotteista vektoria, vektori A ja vektori B. Voimme kirjoittaa nämä vektorit käyttämällä vektorimerkintöjä, kuten A = ja B =, missä a1 ja a2 ovat x-komponentteja, b1 ja b2 ovat y-komponentteja ja c1 ja c2 ovat komponentteja z.
Vaihe 2. Jos haluat lisätä kaksi vektoria, lisää niiden komponentit
Jos vektorin kaksi komponenttia tunnetaan, voit lisätä vektoreita lisäämällä kunkin komponentit. Toisin sanoen, lisää ensimmäisen vektorin x-komponentti toisen vektorin x-komponenttiin ja tee sama y: lle ja z: lle. Vastaus, jonka saat laskemalla yhteen näiden vektoreiden x-, y- ja z -komponentit, on uuden vektorin x-, y- ja z -komponentit.
- Yleisesti ottaen, A+B =.
- Lisätään kaksi vektoria A ja B. A = ja B =. A + B =, tai.
Vaihe 3. Jos haluat vähentää molemmat vektorit, vähennä niiden komponentit
Kuten keskustelemme myöhemmin, yhden vektorin vähentäminen toisesta voidaan ajatella lisäävän sen vastavuoroiset vektorit. Jos molempien vektoreiden komponentit tunnetaan, on mahdollista vähentää yksi vektori toisesta vähentämällä ensimmäinen komponentti toisesta komponentista (tai lisäämällä molempien negatiiviset komponentit).
- Yleisesti ottaen, A-B =
- Vähennetään kaksi vektoria A ja B. A = ja B =. A - B =, tai.
Tapa 2/3: Kuvien lisääminen ja vähentäminen pään ja hännän menetelmällä
Vaihe 1. Symboloi vektori piirtämällä se pään ja hännän avulla
Koska vektoreilla on sekä suuruus että suunta, voimme sanoa, että heillä on häntä ja pää. Toisin sanoen vektorilla on lähtökohta ja päätepiste, joka ilmaisee sen vektorin suunnan, jonka etäisyys lähtöpisteestä on yhtä suuri kuin vektorin suuruus. Piirrettäessä vektori on nuolen muotoinen. Nuolen kärki on vektorin pää ja vektorilinjan pää on häntä.
Jos luot vektorikuvan, jossa on mitat, sinun on mitattava ja piirrettävä kaikki kulmat tarkasti. Kuvan väärä kulma vaikuttaa tulokseen, kun kaksi vektoria lisätään tai vähennetään tällä menetelmällä
Vaihe 2. Toisen vektorin lisääminen, piirtäminen tai siirtäminen siten, että häntä kohtaa ensimmäisen vektorin pään
Tätä kutsutaan pään ja hännän vektoreiden yhdistämiseksi. Jos lisäät vain kaksi vektoria, sinun on tehtävä tämä ennen tuloksena olevan vektorin löytämistä.
Huomaa, että vektoreiden lisäämisjärjestyksellä ei ole väliä, jos käytät samaa lähtökohtaa. Vektori A + vektori B = vektori B + veltori A
Vaihe 3. Jos haluat vähentää, lisää vektoriin negatiivinen merkki
Vektoreiden pienentäminen kuvien avulla on hyvin yksinkertaista. Käännä vektorin suunta, mutta pidä suuruus samana ja lisää vektorin pää ja häntä tavalliseen tapaan. Toisin sanoen vähennä vektori kiertämällä vektoria 180o ja lisää.
Vaihe 4. Jos lisäät tai vähennät enemmän kuin kaksi vektoria, yhdistä kaikki vektorit peräkkäiseen järjestykseen
Yhdistämisjärjestyksellä ei ole väliä. Tätä menetelmää voidaan käyttää vektorien lukumäärästä riippumatta.
Vaihe 5. Piirrä uusi vektori ensimmäisen vektorin hännästä viimeisen vektorin päähän
Riippumatta siitä, lisäätkö/vähennätkö kaksi vektoria vai sata, vektori, joka ulottuu alkuperäisestä aloituspisteestäsi (ensimmäisen vektorin hännästä) viimeisen vektorin päätepisteeseen (viimeisen vektorin pää), on tuloksena oleva vektori tai kaikkien vektorien summa. Huomaa, että tämä vektori on täsmälleen sama kuin vektori, joka saadaan laskemalla yhteen kaikki x-, y- ja/tai z -komponentit.
- Jos piirrät kaikki vektorit kokoon, mittaamalla kaikki kulmat oikein, voit määrittää tuloksena olevan vektorin suuruuden mittaamalla pituuden. Voit myös mitata tuloksena olevan ja minkä tahansa vektorin välisen kulman vaaka- tai pystysuunnassa sen suunnan määrittämiseksi.
- Jos et piirrä kaikkia vektoreitasi kokoon, saatat joutua laskemaan tuloksena olevan suuruuden käyttämällä trigonometriaa. Ehkä sini- ja kosinisäännöt auttavat. Jos lisäät enemmän kuin kaksi vektoria, on hyödyllistä lisätä ensimmäinen vektori toisella, sitten lisätä toisen tulos kolmannelle jne. Katso lisätietoja seuraavista osioista.
Vaihe 6. Piirrä tuloksena oleva vektori käyttämällä sen suuruutta ja suuntaa
Vektori määritellään sen pituuden ja suunnan mukaan. Kuten edellä, olettaen, että piirsit vektorin tarkasti, uuden vektorin suuruus on sen pituus ja sen suunta on kulma suhteessa pysty- tai vaakasuuntaan. Määritä tuloksena olevan vektorin suuruusyksiköt lisäämällä tai vähentämällä yksikkövektoreiden avulla.
Jos esimerkiksi lisätyt vektorit edustavat nopeutta ms-1, jolloin tuloksena oleva vektori voidaan määritellä muotoon "nopeus x ms-1 y: tä vastaan o vaakasuuntaan.
Tapa 3/3: Vektoreiden lisääminen ja vähentäminen määrittämällä vektorin mittakomponentit
Vaihe 1. Määritä vektorin komponentit trigonometrian avulla
Vektorin komponenttien löytämiseksi sinun on yleensä tiedettävä sen suuruus ja suunta suhteessa vaaka- tai pystysuuntaan ja ymmärrettävä trigonometria. Olettaen 2-ulotteisen vektorin, ajattele ensin vektoriasi suorakulmion hypotenuusana, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset x- ja y-suuntiin. Näitä kahta puolta voidaan ajatella pää-hännän vektorin osina, jotka muodostavat vektorin.
- Molempien sivujen pituudet ovat yhtä suuret kuin vektorisi x- ja y -komponentit, ja ne voidaan laskea trigonometrialla. Jos x on vektorin suuruus, vektorin kulman viereinen sivu (suhteessa vaaka-, pystysuuntaan ja muihin suuntiin) on xcos (θ), kun taas vastakkainen puoli on xsin (θ).
- On myös erittäin tärkeää huomioida komponenttien suunta. Jos komponentti osoittaa negatiivista koordinaattia, sille annetaan negatiivinen merkki. Esimerkiksi 2-ulotteisessa tasossa, jos komponentti osoittaa vasemmalle tai alas, se on negatiivinen.
- Oletetaan esimerkiksi, että meillä on vektori, jonka suuruus on 3 ja suunta 135o suhteessa vaakatasoon. Näiden tietojen perusteella voimme määrittää, että x -komponentti on 3cos (135) = - 2, 12 ja y -komponentti on 3sin (135) = 2, 12
Vaihe 2. Lisää tai vähennä kaksi tai useampia toisiinsa liittyviä vektoreita
Kun olet löytänyt kaikkien vektoriesi komponentit, lisää ne yhteen löytääksesi tuloksena olevan vektorin komponentit. Laske ensin yhteen kaikki vaakasuuntaisten komponenttien suuruudet (jotka ovat yhdensuuntaisia x-suunnan kanssa). Laske erikseen kaikki pystysuorien komponenttien suuruudet (jotka ovat yhdensuuntaisia y-suunnan kanssa). Jos komponentti on negatiivinen (-), sen suuruus vähennetään, ei lisätä. Saamasi vastaus on tuloksena olevan vektorin komponentti.
Esimerkiksi edellisen vaiheen vektori lisätään vektoriin. Tässä tapauksessa tuloksena olevasta vektorista tulee tai
Vaihe 3. Laske tuloksena olevan vektorin suuruus Pythagoraan lauseen avulla
Pythagoraan lause c2= a2+b2, käytetään etsimään suorakulmion sivun pituus. Koska tuloksena olevan vektorin ja sen komponenttien muodostama kolmio on suorakulmio, voimme käyttää sitä vektorin pituuden ja suuruuden löytämiseen. Kun c on etsimäsi vektorin suuruus, oletetaan, että a on x -komponentin suuruus ja b on y -komponentin suuruus. Ratkaise algebran avulla.
-
Jos haluat löytää sen vektorin suuruuden, jonka komponentteja olemme etsineet edellisessä vaiheessa, käytä Pythagorean teoriaa. Ratkaise seuraavasti:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Vaihe 4. Laske tuloksena oleva suunta käyttämällä Tangent -funktiota
Etsi lopuksi suunnan vektori. Käytä kaavaa = rusketus-1(b/a), missä on x- tai vaakasuunnassa muodostetun kulman koko, b on y -komponentin koko ja a on x -komponentin koko.
-
Löydä vektorimme suunta käyttämällä = tan-1(b/a).
- = rusketus-1(-6, 88/3, 66)
- = rusketus-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Vaihe 5. Piirrä tuloksena oleva vektori sen suuruuden ja suunnan mukaan
Kuten yllä on kirjoitettu, vektorit määritellään niiden suuruuden ja suunnan mukaan. Varmista, että käytät vektorikoollesi sopivia yksiköitä.
Jos esimerkiksi vektoriesimerkki edustaa voimaa (Newtonissa), voimme kirjoittaa sen "voima 7,79 N x -61,99 o vaakasuoraan ".
Vinkkejä
- Vektori on erilainen kuin iso.
- Vektoreita, joilla on sama suunta, voidaan lisätä tai vähentää lisäämällä tai vähentämällä niiden suuruuksia. Jos sinä Yhteenvetona kaksi vektoria, jotka ovat vastakkaisia, niiden suuruus vähennetään, ei lasketa yhteen.
- Vektorit muodossa x i + y j + z k voidaan lisätä tai vähentää lisäämällä tai vähentämällä kolmen yksikkövektorin kertoimet. Vastaus on myös muodossa i, j ja k.
- Löydät kolmiulotteisen vektorin koon käyttämällä kaavaa a2= b2+c2+d2 jossa a on vektorin suuruus ja b, c ja d ovat kunkin suunnan komponentteja.
- Sarakevektorit voidaan lisätä ja vähentää lisäämällä tai vähentämällä kunkin rivin arvot.
