3X3 -matriisin determinantin määrittäminen: 11 vaihetta (kuvilla)

2024 Kirjoittaja: Jason Gerald | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-15 08:14

Matriisien determinanttia käytetään usein laskennassa, lineaarisessa algebrassa ja geometriassa korkeammalla tasolla. Akateemisen ympäristön ulkopuolella tietokonegrafiikan insinöörit ja ohjelmoijat käyttävät matriiseja ja niiden määrääviä tekijöitä koko ajan. Jos tiedät jo, kuinka määrittää suuruusluokan 2x2 matriisin determinantti, sinun tarvitsee vain oppia, milloin käyttää liittämistä, vähennystä ja aikoja määrittämään kertaluvun 3x3 matriisin determinantti.

Vaihe

Osa 1/2: Määrittäjien määrittäminen

Kirjoita 3 x 3 tilausmatriisi. Aloitamme matriisista A, joka on järjestyksessä 3x3, ja yritämme löytää determinantin | A |. Alla on yleinen käyttämämme matriisin merkintämuoto ja esimerkki matriisista:

		a11	a12	a13		1	5	3
M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

Vaihe 1. Valitse rivi tai sarake

Tee valintasi viittausriville tai sarakkeelle. Valitset minkä tahansa, saat silti saman vastauksen. Valitse väliaikaisesti ensimmäinen rivi. Annamme sinulle ehdotuksia helpoimmin laskettavan vaihtoehdon valitsemiseksi seuraavassa osassa.

Valitse näytetaulukon A ensimmäinen rivi. Ympyröi numero 1 5 3. Ympyröi a₁₁ a₁₂ a₁₃.

Vaihe 2. Yliviivaa ensimmäisen elementin rivi ja sarake

Katso ympyröimääsi riviä tai saraketta ja valitse ensimmäinen elementti. Yliviivaa rivit ja sarakkeet. Jäljellä on vain 4 numeroa. Tee näistä neljästä numerosta 2 x 2 tilausmatriisi.

• Esimerkissämme vertailurivimme on 1 5 3. Ensimmäinen elementti on 1. rivillä ja 1. sarakkeessa. Yliviivaa koko 1. rivi ja 1. sarake. Kirjoita loput elementit 2 x 2 -matriisiin:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

Vaihe 3. Määritä 2 x 2 -järjestyksen matriisin determinantti

Muista, määritä matriisin determinantti [^{a_c b_d] mennessä mainos - bc. Olet ehkä myös oppinut määrittämään matriisin determinantin vetämällä X: n 2 x 2 matriisin väliin. Kerro kaksi numeroa, jotka on yhdistetty rivillä / X: stä. ovat. Käytä tätä kaavaa 2 x 2 -matriisin determinantin laskemiseen.}

• Esimerkissä matriisin determinantti [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Tätä determinanttia kutsutaan alaikäinen alkumatriisista valitsemistasi elementeistä. Tässä tapauksessa olemme juuri löytäneet a: n ala -asteen₁₁.

Vaihe 4. Kerro löydetty luku valitsemallasi elementillä

Muista, että olet valinnut elementtejä vertailuriviltä (tai sarakkeelta), kun päätit, mitkä rivit ja sarakkeet poistetaan. Kerro tämä elementti löytämäsi 2 x 2 -matriisin determinantilla.

Esimerkissä valitsemme a₁₁ joka on 1. Kerro tämä luku -34: llä (2 x 2 -matriisin determinantti) saadaksesi 1*-34 = - 34.

Vaihe 5. Määritä vastauksesi symboli

Seuraava vaihe on, että sinun on kerrottava vastauksesi 1: llä tai -1: llä saadaksesi kofaktori valitsemastasi elementistä. Käyttämäsi symboli riippuu siitä, missä elementit ovat 3 x 3 -matriisissa. Muista, että tätä symbolitaulukkoa käytetään määrittämään elementtisi kerroin:

• + - +
• - + -
• + - +
• Koska valitsemme a₁₁ joka on merkitty +, kerrotaan numero +1: llä (tai toisin sanoen älä muuta sitä). Näkyvä vastaus on sama, nimittäin - 34.
• Toinen tapa määrittää symboli on käyttää kaavaa (-1) ^{i+j missä i ja j ovat rivi- ja sarakeelementtejä.}

Vaihe 6. Toista tämä prosessi referenssirivin tai sarakkeen toiselle elementille

Palaa alkuperäiseen 3 x 3 -matriisiin, jonka ympyröit rivin tai sarakkeen aiemmin. Toista sama prosessi elementillä:

• Yliviivaa elementin rivi ja sarake.

  Valitse tässä tapauksessa elementti a₁₂ (joka on arvoltaan 5). Yliviivaa 1. rivi (1 5 3) ja 2. sarake (5 4 6).

• Muuta loput elementit 2x2 -matriisiksi.

  Esimerkissämme toisen elementin 2x2 -järjestysmatriisi on [²₄ ⁷₂].

• Määritä tämän 2x2 -matriisin determinantti.

  Käytä ad -bc -kaavaa. (2*2-7*4 = -24)

• Kerro valitsemasi 3x3 -matriisin elementeillä.

  -24 * 5 = -120

• Päätä, kerrotaanko yllä oleva tulos -1: llä vai ei.

  Käytä symbolitaulukkoa tai kaavoja (-1)^ij. Valitse elementti a₁₂ symboloitu - symbolitaulukossa. Korvaa vastaussymbolimme seuraavasti: (-1)*(-120) = 120.

Vaihe 7. Toista sama prosessi kolmannelle elementille

Sinulla on vielä yksi kofaktori determinantin määrittämiseksi. Laske i referenssirivin tai sarakkeen kolmannelle elementille. Tässä on nopea tapa laskea kofaktori a₁₃ esimerkissämme:

• Yliviivaa 1. rivi ja 3. sarake saadaksesi [²₄ ⁴₆].
• Determinantti on 2*6-4*4 = -4.
• Kerro elementillä a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Elementti a₁₃ symboli + symbolitaulukossa, joten vastaus on - 12.

Vaihe 8. Laske yhteen kolmen laskentasi tulokset

Tämä on viimeinen vaihe. Olet laskenut kolme kofaktoria, yhden kullekin rivin tai sarakkeen elementille. Laske nämä tulokset yhteen ja löydät 3 x 3 -matriisin determinantin.

Esimerkissä matriisin determinantti on - 34 + 120 + - 12 = 74.

Osa 2/2: Helpottaa ongelmanratkaisua

Vaihe 1. Valitse viittausrivi tai -sarake, jolla on eniten 0: ta

Muista, että voit valita minkä tahansa rivin tai sarakkeen. Valitsitpa minkä tahansa, vastaus on sama. Jos valitset rivin tai sarakkeen, jossa on numero 0, sinun on laskettava kofaktori vain elementeillä, jotka eivät ole 0, koska:

• Valitse esimerkiksi toinen rivi, jossa on elementti a₂₁, a₂₂, rahasto₂₃. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme 3 erilaista 2 x 2 matriisia, sanotaan A₂₁, A₂₂, Sinä₂₃.
• 3x3 -matriisin determinantti on a₂₁| A₂₁| - a₂₂| A₂₂| + a₂₃| A₂₃|.
• Jos₂₂ rahoittaa₂₃ arvo 0, olemassa oleva kaava on a₂₁| A₂₁| - 0*| A₂₂| + 0*| A₂₃| = a₂₁| A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A₂₁|. Siksi laskemme vain yhden elementin kofaktorin.

Vaihe 2. Käytä ylimääräisiä rivejä helpottaaksesi matriisiongelmia

Jos otat arvot yhdeltä riviltä ja lisäät ne toiselle riville, matriisin determinantti ei muutu. Sama pätee sarakkeisiin. Voit tehdä tämän toistuvasti tai kertoa vakion ennen kuin lisäät sen, jotta saat mahdollisimman monta nollaa matriisiin. Tämä voi säästää paljon aikaa.

• Esimerkiksi sinulla on matriisi, jossa on 3 riviä: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• Poistaaksesi numeron 9, joka on asennossa a₁₁, voit kertoa toisen rivin arvon -3: lla ja lisätä tuloksen ensimmäiselle riville. Nyt uusi ensimmäinen rivi on [9-1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Uudessa matriisissa on rivejä [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Käytä samaa temppua sarakkeissa tehdäksesi₁₂ olla numero 0.

Vaihe 3. Käytä kolmionmuotoisia matriiseja nopealla menetelmällä

Tässä erityistapauksessa determinantti on päälävistäjien, a₁₁ vasemmassa yläkulmassa kohtaan a₃₃ matriisin oikeassa alakulmassa. Tämä matriisi on edelleen 3x3 -matriisi, mutta "kolmio" -matriisissa on erityinen numerokaava, joka ei ole 0:

• Ylempi kolmionmuotoinen matriisi: Kaikki elementit, jotka eivät ole 0, ovat päälävistäjän päällä tai sen yläpuolella. Kaikki päälävistäjän alapuolella olevat numerot ovat 0.
• Alempi kolmionmuotoinen matriisi: Kaikki elementit, jotka eivät ole 0, ovat päälävistäjän alapuolella tai sen alapuolella.
• Diagonaalimatriisi: Kaikki elementit, jotka eivät ole 0, ovat päälävistäjillä (edellä mainittujen matriisityyppien osajoukko).

Vinkkejä

• Jos kaikki rivin tai sarakkeen elementit ovat 0, matriisin determinantti on 0.
• Tätä menetelmää voidaan käyttää kaikenkokoisille matriiseille. Jos esimerkiksi käytät tätä menetelmää matriisille, jonka järjestys on 4x4, "isku" jättää matriisin, jonka suuruus on 3x3 ja jonka determinantti voidaan määrittää noudattamalla yllä olevia vaiheita. Muista, että tämän tekeminen voi olla tylsää!